מה יש בדף הזה, ומה מאל״ו נותן בבחינה
מאל״ו מציין כי היכולת לזכור נוסחאות בעל פה אינה נבדקת, ולכן מרבית הנוסחאות הנדרשות לפתרון השאלות מופיעות בדף נוסחאות הכלול במחברת הבחינה (מבנה הבחינה ומרכיביה באתר מאל״ו). הדף שלפניכם הוא דף הנוסחאות של mivchan.co.il: הוא מרכז את הנוסחאות שהשאלות במאגר שלנו - ובפרקים הכמותיים בכלל - נשענות עליהן, עם הערה קצרה ליד כל אחת. הוא איננו העתק של דף מאל״ו ואינו מתיימר להיות כזה; את הדף הרשמי כדאי לראות במחברת בחינה רשמית.
שתי המלצות שנובעות מזה. הראשונה: אל תסמכו על דף הנוסחאות בבחינה כתחליף לידיעה - חיפוש נוסחה באמצע פרק של 20 דקות עולה זמן, ומי שיודע את (a + b)² בעל פה פותר בשניות. השנייה: לכל נוסחה כאן יש מדריך מלא באתר עם דוגמאות פתורות ותרגול - הקישור נמצא מתחת לכל טבלה. הנוסחאות כתובות משמאל לימין, כפי שהן מופיעות בבחינה.
אחוזים
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| p אחוז מתוך x | x · p / 100 | 20% מ-350 הם 70 |
| ערך אחרי עלייה / ירידה של p אחוז | x · (1 + p/100) · x · (1 − p/100) | עלייה של 15% היא כפל ב-1.15 |
| אחוז השינוי | (חדש − ישן) / ישן · 100 | תמיד ביחס לערך ההתחלתי |
| שני שינויים רצופים | x · (1 ± p/100) · (1 ± q/100) | +20% ואז −20% נותנים 0.96x, לא x |
| a אחוז מ-b | a · b / 100 = b אחוז מ-a | 8% מ-50 = 50% מ-8 = 4 |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך אחוזים.
יחס וממוצע
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| חלוקת T ביחס a : b | T · a / (a + b) , T · b / (a + b) | 60 ביחס 2:3 הם 24 ו-36 |
| ממוצע | (סכום האיברים) / n | ומכאן: סכום = ממוצע · n |
| ממוצע משוקלל | (n₁·m₁ + n₂·m₂) / (n₁ + n₂) | n - גודל כל קבוצה, m - הממוצע שלה |
| שיטת המאזניים | n₁ / n₂ = (m₂ − M) / (M − m₁) | M הממוצע המשולב; יחס הכמויות הפוך ליחס המרחקים מ-M |
| הוספת איבר לממוצע | ממוצע חדש = (S + x) / (n + 1) | S הסכום הקודם |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך יחסים.
חזקות ושורשים
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| כפל וחילוק חזקות באותו בסיס | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | רק כשהבסיס זהה |
| חזקה של חזקה | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| חזקה של מכפלה ושל מנה | (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ · (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | אין כלל דומה לסכום: (a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ |
| מעריך אפס ומעריך שלילי | a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | עבור a ≠ 0 |
| מעריך שבר | a^(1/n) = ⁿ√a · a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) | 8^(2/3) = (³√8)² = 4 |
| שורש של מכפלה ושל מנה | √(ab) = √a · √b · √(a/b) = √a / √b | עבור a, b ≥ 0; אין כלל לסכום: √(a+b) ≠ √a + √b |
| שורש של ריבוע | √(a²) = |a| | לא a - עבור a שלילי התוצאה חיובית |
| השוואת חזקות | a > b > 0, n > 0 ⟹ aⁿ > bⁿ | למעריך שלילי הכיוון מתהפך; לבסיס בין 0 ל-1 החזקה קטנה ככל שהמעריך גדל |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך חזקות ושורשים.
נוסחאות הכפל המקוצר ומשוואה ריבועית
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| ריבוע של סכום / הפרש | (a ± b)² = a² ± 2ab + b² | האיבר האחרון תמיד חיובי |
| הפרש ריבועים | (a + b)(a − b) = a² − b² | סכום ריבועים a² + b² אינו מתפרק |
| סכום ריבועים מסכום ומכפלה | a² + b² = (a + b)² − 2ab | וגם (a − b)² = (a + b)² − 4ab |
| חזקה שלישית | (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ | הסימנים מתחלפים בהפרש |
| סכום והפרש קוביות | a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²) | הסימן באמצע הפוך לסימן שבסוגריים הראשונים |
| נוסחת השורשים | x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a | עבור ax² + bx + c = 0; אין פתרון ממשי כש-b² − 4ac < 0 |
| סכום ומכפלת השורשים (וייטה) | x₁ + x₂ = −b/a · x₁ · x₂ = c/a | לבדיקה מהירה של פירוק |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך נוסחאות הכפל המקוצר.
תנועה והספק
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| דרך, מהירות, זמן | דרך = מהירות · זמן | ומכאן זמן = דרך / מהירות |
| מהירות ממוצעת | סך הדרך / סך הזמן | לא ממוצע המהירויות |
| הלוך ושוב באותה דרך | v_ממוצעת = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) | תמיד קטנה מהממוצע הרגיל של v₁ ו-v₂ |
| תנועה זה לקראת זה | זמן למפגש = מרחק / (v₁ + v₂) | המהירויות מתחברות |
| רדיפה באותו כיוון | זמן להשגה = פער / (v₁ − v₂) | הפרש המהירויות סוגר את הפער |
| הספק | הספק = עבודה / זמן | עבודה שלמה ב-t שעות: הספק 1/t לשעה |
| עבודה משותפת | 1/T = 1/a + 1/b ⟹ T = ab / (a + b) | ברז מרוקן נכנס עם סימן מינוס |
| פועלים וזמן (עבודה קבועה) | פועלים · זמן = קבוע | יחס הפוך: פי 2 פועלים, חצי מהזמן |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך בעיות תנועה.
משולשים
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| סכום זוויות | α + β + γ = 180° | זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות |
| שטח משולש | S = a · h / 2 | h הגובה המאונך לצלע a |
| שטח משולש ישר זווית | S = a · b / 2 | מכפלת הניצבים חלקי 2 |
| משפט פיתגורס | a² + b² = c² | c היתר; שלשות: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 |
| משולש 45-45-90 | 1 : 1 : √2 | היתר = ניצב · √2 |
| משולש 30-60-90 | 1 : √3 : 2 | הצלע שמול 30° היא חצי היתר |
| משולש שווה צלעות | h = a√3 / 2 · S = a²√3 / 4 | כל זווית 60° |
| אי-שוויון המשולש | |a − b| < c < a + b | לכל צלע |
| משולשים דומים | יחס שטחים = (יחס צלעות)² | יחס היקפים = יחס צלעות |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך משולשים.
מרובעים ומצולעים
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| מלבן | S = a · b · P = 2(a + b) · d = √(a² + b²) | |
| ריבוע | S = a² · P = 4a · d = a√2 | וגם S = d² / 2 |
| מקבילית | S = בסיס · גובה | הגובה מאונך לבסיס, לא הצלע הנטויה |
| מעוין | S = d₁ · d₂ / 2 | האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה |
| טרפז | S = (a + b) · h / 2 | ממוצע הבסיסים כפול הגובה |
| סכום זוויות במצולע | 180° · (n − 2) | מרובע 360°, מחומש 540°, משושה 720° |
| זווית במצולע משוכלל | 180° · (n − 2) / n | משושה משוכלל: 120° |
| סכום זוויות חיצוניות | 360° | לכל מצולע קמור |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך מרובעים.
מעגל
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| היקף ושטח | C = 2πr = πd · S = πr² | קוטר d = 2r |
| אורך קשת | (α / 360°) · 2πr | α הזווית המרכזית |
| שטח גזרה | (α / 360°) · πr² | גזרה של 90° היא רבע עיגול |
| זווית מרכזית והיקפית | מרכזית = 2 · היקפית | על אותה קשת |
| זווית היקפית על קוטר | 90° | משולש חסום שצלעו קוטר הוא ישר זווית |
| משיק | משיק ⊥ רדיוס בנקודת ההשקה | שני משיקים מנקודה חיצונית שווים |
| מעגל חסום בריבוע / חוסם ריבוע | r = a / 2 · r = a√2 / 2 | a צלע הריבוע |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך מעגלים.
גופים
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| תיבה | V = abc · שטח פנים = 2(ab + bc + ac) · אלכסון = √(a² + b² + c²) | |
| קובייה | V = a³ · שטח פנים = 6a² · אלכסון = a√3 | |
| גליל | V = πr²h · מעטפת = 2πrh · שטח פנים = 2πr² + 2πrh | |
| חרוט | V = πr²h / 3 | שליש מגליל באותם רדיוס וגובה |
| כדור | V = (4/3)πr³ · שטח פנים = 4πr² | |
| מנסרה ופירמידה | V = שטח בסיס · h · V = שטח בסיס · h / 3 | h הגובה המאונך לבסיס |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך גופים.
מערכת צירים
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| מרחק בין שתי נקודות | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | פיתגורס על ההפרשים |
| אמצע קטע | ((x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2) | ממוצע הקואורדינטות |
| שיפוע | m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) | ישר עולה - חיובי; יורד - שלילי |
| משוואת ישר | y = mx + b | b נקודת החיתוך עם ציר y |
| ישרים מקבילים / מאונכים | m₁ = m₂ · m₁ · m₂ = −1 | |
| מעגל שמרכזו בראשית | x² + y² = r² |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך מערכת צירים.
קומבינטוריקה והסתברות
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| עקרון הכפל | n₁ · n₂ · … · nₖ | בחירות עוקבות ובלתי תלויות |
| סידור n פריטים בשורה | n! = n · (n−1) · … · 1 | 0! = 1 |
| סידור k מתוך n (חשוב סדר) | n! / (n − k)! | |
| בחירת k מתוך n (לא חשוב סדר) | n! / (k! · (n − k)!) | C(5,2) = 10 |
| סידור במעגל | (n − 1)! | |
| הסתברות | P = מספר התוצאות הרצויות / מספר כל התוצאות | כשכל התוצאות שוות סיכוי |
| "וגם" למאורעות בלתי תלויים | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) | למאורעות תלויים: P(A) · P(B|A) |
| "או" | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | למאורעות זרים החיתוך אפס |
| משלים ו"לפחות אחד" | P(לא A) = 1 − P(A) | לפחות אחד = 1 − P(אף אחד) |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך הסתברות.
סדרות
| מה | הנוסחה | הערה |
|---|---|---|
| סדרה חשבונית - איבר כללי | aₙ = a₁ + (n − 1)d | d ההפרש |
| סדרה חשבונית - סכום | Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 | ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים |
| סדרה הנדסית - איבר כללי | aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ | q המנה |
| סדרה הנדסית - סכום | Sₙ = a₁(qⁿ − 1) / (q − 1) | עבור q ≠ 1 |
| סכום המספרים 1 עד n | 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2 | 1 עד 100: 5,050 |
| מספר האיברים בסדרה חשבונית | n = (aₙ − a₁) / d + 1 | לא לשכוח את ה-1 |
הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול: מדריך סדרות.
איך להשתמש בדף
עברו על הטבלאות פעם אחת וסמנו כל נוסחה שאינכם יודעים להסביר מאיפה היא באה - זו הנוסחה שצריך ללמוד, לא לשנן. אחר כך פתרו את השאלות במדריך המתאים עד שהיא אוטומטית. בסוף, לפני הבחינה, חזרו לדף ובדקו שכל שורה ברורה. באינדקס נושאי הכמותי תמצאו לכל נושא את המדריך, את דף השאלות הפתורות ואת התרגול האינטראקטיבי.
שאלות נפוצות
האם מקבלים דף נוסחאות בבחינה הפסיכומטרית?
כן. מאל״ו מציין שמרבית הנוסחאות הנדרשות לפתרון השאלות מופיעות בדף נוסחאות הכלול במחברת הבחינה. הדף שבעמוד זה הוא דף הנוסחאות של האתר ואינו העתק של הדף הרשמי.
אילו נוסחאות הכי חשוב לדעת בעל פה לפסיכומטרי?
הנוסחאות שחוזרות בכמעט כל פרק: נוסחאות הכפל המקוצר ובעיקר הפרש ריבועים, חוקי חזקות ושורשים, שטח והיקף של משולש, מלבן, ריבוע ומעגל, משפט פיתגורס והמשולשים המיוחדים, דרך שווה מהירות כפול זמן, ממוצע, אחוז שינוי, והנוסחה לעבודה משותפת. חיפוש בדף באמצע פרק עולה זמן שאין בו.
מה ההבדל בין דף הנוסחאות הזה לדף של מאל״ו?
הדף כאן רחב יותר ומלווה כל נוסחה בהערה ובקישור למדריך עם דוגמאות פתורות. תוכנו של דף מאל״ו לא הועתק לכאן, ולכן אין להסתמך על העמוד הזה כדי לדעת מה בדיוק יופיע בבחינה - לשם כך יש לעיין בחוברת ההכנה הרשמית באתר מאל״ו.