למה מלבן וריבוע מופיעים בכל כך הרבה שאלות
המלבן והריבוע הם הצורות הנוחות ביותר לבנות עליהן שאלה: כל אחד יודע את נוסחת השטח, ולכן הקושי עובר לשלב שלפני ההצבה - למצוא את הצלע החסרה מהאלכסון, לתרגם "הגדילו את האורך ב-20%" לשטח חדש, או לספור כמה ריבועים קטנים נכנסים במלבן. במאגר שלנו 155 שאלות מרובעים, וכולן נשענות על חמש נוסחאות ועל שתי טכניקות.
הנוסחאות שהמבחן משתמש בהן
1. מלבן
שטח S = a · b, היקף P = 2(a + b), אלכסון d = √(a² + b²). שני האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, וכל אלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית חופפים - ולכן כל שאלת אלכסון היא שאלת פיתגורס.
2. ריבוע
שטח S = a², היקף P = 4a, אלכסון d = a√2. הריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות, ולכן האלכסונים שלו גם שווים, גם חוצים זה את זה וגם מאונכים זה לזה. שימושי במיוחד: שטח ריבוע דרך האלכסון - S = d² / 2.
3. מקבילית ומעוין
מקבילית: S = בסיס · גובה, כשהגובה הוא המרחק המאונך בין שני הבסיסים (לא הצלע הנטויה). מעוין הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות; האלכסונים שלו מאונכים וחוצים זה את זה, ולכן S = (d₁ · d₂) / 2 - וגם בסיס × גובה עובד. כל רבע מעוין הוא משולש ישר זווית שניצביו חצאי האלכסונים.
4. טרפז
S = (a + b) · h / 2 - ממוצע הבסיסים כפול הגובה. בטרפז ישר זווית הגובה הוא אחת השוקיים; בטרפז שווה שוקיים הורדת שני גבהים יוצרת מלבן באמצע ושני משולשים ישרי זווית חופפים בצדדים, וההפרש בין הבסיסים מתחלק שווה ביניהם.
5. שינוי מידות
כשמכפילים צלע אחת ב-k, השטח מוכפל ב-k; כשמכפילים את כל הצלעות ב-k, השטח מוכפל ב-k² וההיקף ב-k. הגדלת אורך ב-20% והקטנת רוחב ב-20% נותנת שטח של 1.2 × 0.8 = 0.96 מהמקורי - ירידה של 4%, לא "אותו שטח".
| צורה | שטח | היקף | אלכסונים |
|---|---|---|---|
| מלבן | a · b | 2(a + b) | שווים, חוצים זה את זה, √(a² + b²) |
| ריבוע | a² | 4a | שווים, מאונכים, a√2 |
| מקבילית | בסיס · גובה | 2(a + b) | חוצים זה את זה |
| מעוין | (d₁ · d₂) / 2 | 4a | מאונכים, חוצים זה את זה |
| טרפז | (a + b) · h / 2 | סכום הצלעות | - |
אלכסון הוא כמעט תמיד הרמז: הוא הופך מרובע לשני משולשים, ובמלבן ובריבוע הם ישרי זווית. כשמופיע אלכסון ואורך אחד חסר - זו שאלת פיתגורס במסווה.
2 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: האלכסון יוצר משולש ישר זווית שבו האלכסון הוא היתר. מפיתגורס: b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12 (השלשה 5-12-13). השטח: 5 × 12 = 60. ההיקף: 2(5 + 12) = 34. שימו לב שהמסיח "65" (5 × 13) מחכה למי שמכפיל צלע באלכסון.
פתרון: צלע הריבוע חייבת לחלק גם את 12 וגם את 18, והגדולה ביותר היא המחלק המשותף המקסימלי: 6. לאורך הצלע 12 נכנסים 12 / 6 = 2 ריבועים, לאורך 18 נכנסים 18 / 6 = 3, ובסך הכול 2 × 3 = 6 ריבועים. בדיקה דרך השטחים: (12 × 18) / (6 × 6) = 216 / 36 = 6. שאלה כזו היא שאלת תורת מספרים בתחפושת גאומטרית.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- צלע נטויה במקום גובה. במקבילית ובטרפז השטח משתמש בגובה המאונך, לא בצלע הנטויה. אם נתונה צלע נטויה וזווית - מוצאים את הגובה קודם.
- היקף מול שטח. "כמה גדר צריך" זה היקף; "כמה דשא" זה שטח. יחידות: מטר להיקף, מטר רבוע לשטח.
- הכפלת שטח לפי הכפלת צלע. הכפלת כל הצלעות פי 2 מגדילה את השטח פי 4 ואת ההיקף פי 2 בלבד.
- אלכסון ריבוע. האלכסון הוא a√2, לא 2a - והצלע מתוך האלכסון היא d / √2.
- שינוי באחוזים "מתקזז". +20% ואז −20% על שני ממדים שונים נותן 0.96 מהשטח המקורי, לא 100%.
איך לתרגל מרובעים נכון
התחילו משאלות שטח והיקף ישירות עד שההצבה מיידית, עברו לשאלות אלכסון (פיתגורס), ואז לשאלות שינוי מידות באחוזים ולחלוקה לריבועים. בדף השאלות הפתורות יש שאלות מלבן וריבוע מהמאגר עם פתרון מלא גלוי, ובתרגול האינטראקטיבי מחכות כל 155 השאלות עם בדיקה מיידית. לאחר מכן עברו לשטחי מצולעים ושטחים לא מוכרים - שם מפרקים צורה מורכבת בדיוק למלבנים ולמשולשים האלה.
שאלות נפוצות
איך מחשבים אלכסון של מלבן ושל ריבוע?
האלכסון יוצר משולש ישר זווית עם שתי צלעות סמוכות, ולכן לפי פיתגורס אלכסון המלבן הוא שורש של a בריבוע ועוד b בריבוע. בריבוע שתי הצלעות שוות, ולכן האלכסון הוא הצלע כפול שורש 2. למשל, במלבן 5 על 12 האלכסון הוא 13, ובריבוע שצלעו 4 האלכסון הוא 4 שורש 2.
מה קורה לשטח כשמגדילים את הצלעות באחוזים?
מכפילים את מקדמי השינוי. הגדלת האורך ב-20% והקטנת הרוחב ב-20% נותנת שטח של 1.2 כפול 0.8, כלומר 0.96 מהמקורי - ירידה של 4%. הגדלת כל הצלעות פי 2 מגדילה את השטח פי 4 ואת ההיקף פי 2.
מהי נוסחת השטח של טרפז ושל מעוין?
שטח טרפז הוא סכום שני הבסיסים כפול הגובה חלקי 2, כלומר ממוצע הבסיסים כפול הגובה. שטח מעוין הוא מכפלת האלכסונים חלקי 2, כי האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה; אפשר גם לחשב אותו כבסיס כפול גובה, כמו בכל מקבילית.