למה המשולש הוא הצורה החשובה ביותר בגאומטריה של הפסיכומטרי
כמעט כל שאלת גאומטריה בפרק הכמותי מגיעה בסופו של דבר למשולש: אלכסון במלבן יוצר שני משולשים ישרי זווית, רדיוס שיורד למיתר יוצר משולש, וכל מצולע ניתן לחלק למשולשים. לכן מי ששולט בחמשת כללי המשולש פותר לא רק את שאלות המשולשים עצמן אלא גם חלק ניכר משאלות המרובעים, המעגלים והגופים. במאגר שלנו 185 שאלות משולשים, מסודרות מקל לקשה, וכולן נשענות על הכללים שבדף הזה.
הכללים שהמבחן משתמש בהם
1. סכום הזוויות במשולש הוא 180°
הכלל הראשון והשכיח ביותר: שתי זוויות נתונות - השלישית מחושבת מיד. 180° − (α + β). ברוב השאלות הכלל הזה לא מופיע לבד אלא כצעד ביניים: מוצאים זווית אחת במשולש, ומעבירים אותה למשולש שכן דרך זוויות קודקודיות או צמודות (ראו זוויות וישרים).
2. זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
אם מאריכים צלע של משולש, הזווית שנוצרת בחוץ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הרחוקות ממנה. זו למעשה אותה עובדה כמו סכום 180° (הזווית החיצונית והפנימית הצמודה לה משלימות ל-180°), אבל השימוש הישיר בה חוסך צעד שלם בשאלות עם "משולש בתוך משולש".
3. שטח המשולש
S = (a · h) / 2 - בסיס כפול הגובה אליו, חלקי שתיים. הגובה חייב להיות מאונך לבסיס שנבחר; במשולש ישר זווית שני הניצבים הם בסיס וגובה, ולכן S = (a · b) / 2. במשולש קהה זווית הגובה נופל מחוץ למשולש - זה תקין, והנוסחה זהה.
4. משולש שווה שוקיים ושווה צלעות
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, והגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית - הוא מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית חופפים. במשולש שווה צלעות כל זווית 60°, הגובה הוא a√3 / 2 והשטח a²√3 / 4. שתי הנוסחאות האחרונות נובעות ישירות מפיתגורס על חצי המשולש, ולא חייבים לזכור אותן - אבל מי שזוכר חוסך חצי דקה.
5. משולש ישר זווית: פיתגורס והמשולשים המיוחדים
a² + b² = c² כאשר c הוא היתר. שתי משפחות של משולשים חוזרות במבחן: 45-45-90 (חצי ריבוע) שבו הצלעות ביחס 1 : 1 : √2, ו-30-60-90 (חצי משולש שווה צלעות) שבו הצלעות ביחס 1 : √3 : 2 - הניצב שמול 30° הוא חצי היתר. השלשות הפיתגוריות 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 ו-8-15-17 חוסכות את החישוב. פירוט מלא במדריך פיתגורס.
| נתון | מה נובע ממנו מיד |
|---|---|
| שתי זוויות | הזווית השלישית: 180° − (α + β) |
| שתי צלעות שוות | שתי זוויות הבסיס שוות |
| שתי זוויות שוות | שתי הצלעות שמולן שוות |
| זווית של 90° | פיתגורס; היתר הוא הצלע הארוכה ביותר |
| זוויות 30°, 60°, 90° | צלעות ביחס 1 : √3 : 2 |
| צלע גדולה יותר | הזווית שמולה גדולה יותר (ולהפך) |
כל צלע קטנה מסכום שתי האחרות וגדולה מהפרשן. אם שתי צלעות הן 4 ו-7, הצלע השלישית היא מספר בין 3 ל-11 (לא כולל הקצוות). שאלות "איזו צלע לא יכולה להיות" נפתרות רק בכלל הזה.
2 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: זוויות הבסיס שוות, ולכן כל אחת מהן (180° − 40°) / 2 = 70°. הזווית ACD היא זווית חיצונית של המשולש, ולכן שווה לסכום שתי הפנימיות שאינן צמודות לה: 40° + 70° = 110°. בדיקה: היא צמודה לזווית ACB, ואכן 110° + 70° = 180°.
פתרון: הגובה לבסיס חוצה אותו, ולכן נוצר משולש ישר זווית עם ניצב 5 ויתר 13. מפיתגורס: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, כלומר h = 12 (השלשה 5-12-13). השטח: (10 × 12) / 2 = 60. הצעד הקריטי הוא לזהות שהגובה במשולש שווה שוקיים חוצה את הבסיס - בלי זה אין משולש ישר זווית ואין פיתגורס.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- גובה שאינו מאונך לבסיס. צלע שנראית "עומדת" בשרטוט אינה גובה אלא אם מסומנת זווית ישרה. בנוסחת השטח הגובה חייב להיות ניצב לבסיס.
- היתר במקום הניצב. ב-30-60-90 הצלע שמול 30° היא חצי היתר, לא חצי הניצב השני. הסדר: קטנה, בינונית (√3 כפול הקטנה), היתר (פי 2 מהקטנה).
- הסתמכות על השרטוט. שרטוטי הפסיכומטרי אינם בקנה מידה. משולש שנראה שווה שוקיים אינו כזה אלא אם נתון.
- שכחת החלוקה ב-2. בסיס × גובה הוא שטח מלבן; שטח המשולש הוא חצי מזה.
- זווית חיצונית עם הזווית הצמודה. הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הרחוקות; עם הצמודה היא משלימה ל-180°.
איך לתרגל משולשים נכון
התחילו משאלות זוויות טהורות (סכום 180°, זווית חיצונית, שווה שוקיים) עד שהן אוטומטיות, עברו לשאלות שטח שבהן הגובה נתון, ואז לשאלות שבהן צריך למצוא את הגובה בעצמכם דרך פיתגורס - שם נמצא רוב הקושי האמיתי. בדף השאלות הפתורות יש שאלות משולשים מהמאגר עם פתרון מלא גלוי, ובתרגול האינטראקטיבי מחכות כל 185 השאלות עם בדיקה מיידית. כשהמשולשים יושבים, המשיכו למרובעים ולמעגלים - שניהם נפתרים דרך משולשים.
שאלות נפוצות
איך מוצאים זווית שלישית במשולש?
סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180°, ולכן מחסירים את סכום שתי הזוויות הידועות מ-180. אם שתי הזוויות הן 50° ו-60°, השלישית היא 70°. במשולש שווה שוקיים מספיקה זווית אחת: אם זווית הראש 40°, כל זווית בסיס היא (180 − 40) / 2 = 70°.
מהי נוסחת השטח של משולש ומתי צריך פיתגורס?
שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה אליו חלקי 2. כשהגובה לא נתון, מוצאים אותו בעזרת פיתגורס: במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס ויוצר משולש ישר זווית שבו השוק היא היתר וחצי הבסיס הוא ניצב. במשולש ישר זווית שני הניצבים הם הבסיס והגובה, ולכן השטח הוא מכפלת הניצבים חלקי 2.
מהם המשולשים המיוחדים שצריך לזכור לפסיכומטרי?
שניים: משולש 45-45-90 (חצי ריבוע) שצלעותיו ביחס 1 : 1 : √2, ומשולש 30-60-90 (חצי משולש שווה צלעות) שצלעותיו ביחס 1 : √3 : 2, כשהצלע שמול 30° היא חצי היתר. לצידם כדאי לזכור את השלשות הפיתגוריות 3-4-5, 5-12-13 ו-8-15-17 עם כפולותיהן.