למה מעגלים הם נושא חובה בפסיכומטרי
המעגל הוא אחת הצורות השכיחות ביותר בפרקי החשיבה הכמותית: הוא מופיע לבד, בשילוב עם משולשים וריבועים (מעגל חסום או חוסם), ובשאלות שטח מורכבות שבהן מחסירים עיגול ממלבן או גזרה מריבוע. הבשורה הטובה: כמות הידע הנדרשת קטנה. שתי נוסחאות, שני כללי זוויות, כלל משיק אחד וכלל גזרה אחד - ומרבית השאלות נפתחות. הדף הזה מרכז את כולם עם דוגמאות מחושבות עד הסוף.
רדיוס, קוטר, היקף ושטח
רדיוס (r) הוא המרחק ממרכז המעגל לכל נקודה עליו. קוטר (d) הוא מיתר שעובר דרך המרכז, ולכן d = 2r - הקוטר תמיד כפול מהרדיוס, והוא המיתר הארוך ביותר במעגל.
- היקף המעגל: C = 2πr = πd
- שטח העיגול: S = πr²
שימו לב להבחנה בין ״מעגל״ (הקו העגול עצמו) ל״עיגול״ (השטח שהקו כולא) - ההיקף שייך למעגל, השטח לעיגול. בפסיכומטרי משאירים כמעט תמיד את התשובה עם π, בלי קירוב עשרוני: רדיוס 7 נותן היקף 14π ושטח 49π.
זווית מרכזית מול זווית היקפית
זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז המעגל; זווית היקפית היא זווית שקודקודה על ההיקף. שני כללים סוגרים את רוב שאלות הזוויות:
- כלל הכפל: זווית מרכזית גדולה פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת. אם ההיקפית 35°, המרכזית 70°.
- זווית על קוטר: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא תמיד 90°. לכן משולש שחסום במעגל ואחת מצלעותיו קוטר - הוא ישר זווית, והקוטר הוא היתר.
משיק ומיתר
משיק הוא ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בדיוק. הכלל המרכזי: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן ברגע שמופיע משיק בשרטוט - חפשו את המשולש ישר הזווית שנוצר מהרדיוס, המשיק והקטע אל הנקודה החיצונית, והפעילו פיתגורס. כלל נלווה: שני משיקים היוצאים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם.
מיתר הוא קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל. אנך היורד ממרכז המעגל למיתר חוצה אותו - וזה יוצר, שוב, משולש ישר זווית שבו הרדיוס הוא היתר, חצי המיתר ניצב אחד והמרחק מהמרכז ניצב שני.
גזרה - חלק יחסי מהעיגול
גזרה היא "משולש פיצה": החלק הכלוא בין שני רדיוסים והקשת שביניהם. העיקרון פשוט - הגזרה היא אותו חלק מהעיגול שהזווית המרכזית שלה מהווה מ-360°:
- שטח גזרה: (α/360)·πr²
- אורך קשת: (α/360)·2πr
גזרה של 90° היא רבע עיגול, של 120° שליש, של 60° שישית - ברוב שאלות הפסיכומטרי הזווית היא אחד המספרים ה״נוחים״ האלה, כך שכדאי לחשוב בשברים ולא בנוסחה המלאה.
מעגל חסום וחוסם
| מצב | הקשר המרכזי |
|---|---|
| מעגל חסום בריבוע שצלעו a | הקוטר שווה לצלע: r = a/2 |
| מעגל חוסם ריבוע שצלעו a | הקוטר שווה לאלכסון: r = a√2/2 |
| משולש ישר זווית חסום במעגל | היתר הוא קוטר המעגל |
בכל שאלת "חסום/חוסם" השאלה האמיתית היא אחת: מה מקשר בין הרדיוס לבין מידות הצורה השנייה. מצאו את הקשר הזה - וכל השאר הוא הצבה בנוסחאות.
3 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: מההיקף: 2πr = 10π ולכן r = 5. השטח: πr² = 25π. שימו לב לסדר: תמיד מחלצים קודם את הרדיוס, ורק אז ניגשים לנוסחה השנייה.
פתרון: 120° הם שליש מ-360°, ולכן הגזרה היא שליש עיגול. שטח העיגול: π·36 = 36π. שטח הגזרה: 36π/3 = 12π. חשיבה בשברים חוסכת את הנוסחה המלאה.
פתרון: זווית היקפית על קוטר היא 90°, ולכן המשולש ישר זווית והקוטר הוא היתר. זו שלשה פיתגורית 6-8-10, ולכן הצלע השלישית היא 8. שילוב קלאסי של כלל מעגל עם שלשות פיתגוריות.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- בלבול רדיוס-קוטר. אם נתון קוטר 12, הרדיוס הוא 6 - להציב את הקוטר בנוסחת השטח היא הטעות השכיחה ביותר בנושא.
- בלבול היקף-שטח. 2πr הוא היקף, πr² הוא שטח. בדיקה מהירה: שטח תמיד עם ריבוע.
- כיוון כלל הכפל. המרכזית כפולה מההיקפית - לא להפך. המרכזית תמיד הגדולה מבין השתיים.
- גזרה בלי יחס. אין נוסחת קסם נפרדת לגזרה - היא תמיד חלק יחסי של העיגול השלם לפי הזווית.
- התעלמות מהמשיק. משיק בשרטוט הוא כמעט תמיד רמז לזווית ישרה נסתרת - ולפיתגורס.
איך לתרגל מעגלים נכון
התחילו משאלות היקף ושטח ישירות עד שההצבה אוטומטית, עברו לשאלות זוויות (מרכזית-היקפית וזווית על קוטר), ורק אז לשאלות המשולבות - משיק עם פיתגורס, גזרות בתוך שאלות שטח, ומעגל חסום או חוסם. במאגר שלנו יש 125 שאלות מעגל מסודרות לפי רמת קושי, עם הסבר מלא לכל שאלה. אפשר גם לתרגל ישירות את תת-הנושא המתקדם: מיתרים, גזרות וזוויות היקפיות.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין זווית מרכזית לזווית היקפית?
זווית מרכזית יושבת במרכז המעגל, וזווית היקפית יושבת על היקף המעגל. כשהשתיים נשענות על אותה קשת, הזווית המרכזית גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית. מקרה פרטי חשוב: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא תמיד 90 מעלות.
איך מחשבים שטח של גזרה במעגל?
גזרה היא חלק יחסי מהעיגול, לפי הזווית המרכזית שלה: שטח הגזרה = (α/360)×πr². באותו אופן, אורך הקשת = (α/360)×2πr. למשל, גזרה של 120 מעלות במעגל שרדיוסו 6 היא שליש מהעיגול: שטחה 12π ואורך הקשת שלה 4π.
מה הקשר בין משיק למעגל לבין הרדיוס?
משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה - תמיד. לכן הרדיוס, המשיק והקטע ממרכז המעגל לנקודה החיצונית יוצרים משולש ישר זווית, ופיתגורס פותר. כלל נלווה: שני משיקים היוצאים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם.