למה גאומטריה חשובה כל כך בפרק הכמותי?
גאומטריה היא אחד מתחומי התוכן המרכזיים בפרק החשיבה הכמותית בפסיכומטרי: לפי מאל"ו, שאלות הפרק (20 שאלות בכל פרק) עוסקות באלגברה, בגאומטריה ובהסקה מתרשים, ומספר שאלות הגאומטריה אינו קבוע ואינו מתפרסם. מה שהופך אותה למורכבת זה לא הנוסחאות עצמן - רובן ידועות מחטיבת הביניים - אלא שילוב של שלושה אתגרים: צריך לזהות איזה משפט רלוונטי, להבחין במידע חסר שמסתתר בשרטוט, ולעבוד תחת אילוץ זמן של דקה לשאלה. השרטוטים בפסיכומטרי, ויש לציין זאת מיד, לא מדויקים בקנה מידה - והנבחן שמסתמך על העין במקום על הנתונים מאבד נקודות יקרות. המאגר שלנו כולל 1,345 שאלות עם 1,194 שרטוטים מקוריים, מתוכננים כך שיחקו במדויק את אופי השרטוטים בפסיכומטרי האמיתי.
10 תתי-הנושאים שתפגוש
לשישה מהם יש מדריך מלא משלו עם דוגמאות פתורות - הכותרות המקושרות למטה - ולכל אחד דף שאלות פתורות ותרגול אינטראקטיבי. כל הנוסחאות מרוכזות בדף הנוסחאות.
1. זוויות וישרים
זוויות צמודות (סכומן 180°), קודקודיות (שוות), חלופיות, מתאימות, חד-צדדיות. ישרים מקבילים שנחתכים על-ידי ישר שלישי יוצרים את המערכת הקלאסית - וזיהוי נכון של זוג זוויות מקצר את הפתרון לשנייה אחת.
2. משולשים
סכום זוויות במשולש = 180°. במשולש שווה שוקיים - הזוויות שמול הצלעות השוות שוות. במשולש שווה צלעות - כל זווית 60°. במשולש ישר זווית - פיתגורס: a²+b²=c². משולשים מיוחדים: 30-60-90 (יחסי צלעות 1:√3:2) ו-45-45-90 (יחסי 1:1:√2).
3. מצולעים
סכום הזוויות הפנימיות במצולע בעל n צלעות: 180°×(n-2). מרובע = 360°, מחומש = 540°, משושה = 720°. במצולע משוכלל כל הזוויות שוות וכל הצלעות שוות.
4. שטחים
נוסחאות חובה: משולש = (בסיס × גובה)/2, מלבן = אורך × רוחב, מקבילית = בסיס × גובה, טרפז = ((בסיס1+בסיס2) × גובה)/2, מעוין = (אלכסון1 × אלכסון2)/2.
5. מעגל ועיגול
היקף = 2πr, שטח = πr². זווית מרכזית = הקשת שלה. זווית היקפית = חצי הקשת. משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שני משיקים מנקודה חיצונית שווים באורכם.
6. מצולעים משוכללים
זווית פנימית במצולע משוכלל בעל n צלעות: 180°×(n-2)/n. משולש משוכלל = 60°, ריבוע = 90°, מחומש = 108°, משושה = 120°. בכל מצולע משוכלל קיים מעגל חוסם ומעגל חסום.
7. שטחים לא מוכרים
הנושא שמפיל הכי הרבה נבחנים. השטח לא מתאים לאף נוסחה בודדת. הפתרון: לחלק את השטח לצורות מוכרות (חיבור), או להחסיר מצורה גדולה ידועה את השטחים העודפים (חיסור). שטח לא מוכר תמיד מסתתר בין צורות פשוטות.
8. מערכת צירים
נוסחת המרחק בין שתי נקודות: √((x2-x1)²+(y2-y1)²). אמצע קטע: ממוצע הקואורדינטות. שיפוע: (y2-y1)/(x2-x1). ישרים מקבילים - שיפוע זהה. ישרים מאונכים - מכפלת השיפועים = -1.
9. הנדסת המרחב
תיבה: נפח = אורך × רוחב × גובה, שטח פנים = 2(ab+bc+ac). קובייה: נפח = a³. גליל: נפח = πr²h. חרוט: נפח = πr²h/3. כדור: נפח = (4/3)πr³, שטח פנים = 4πr².
10. מלבן וריבוע
אלכסון מלבן = √(a²+b²). אלכסון ריבוע = a√2. אלכסוני הריבוע מאונכים זה לזה. אלכסון המלבן חוצה את שטחו ל-2 משולשים שווי שטח.
8 משפטים שחובה לדעת בעל-פה
- פיתגורס: a² + b² = c² במשולש ישר זווית.
- משפט הסינוסים: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.
- משפט הקוסינוסים: c² = a² + b² - 2ab·cosC.
- סכום זוויות במשולש: 180°.
- סכום זוויות במצולע בעל n צלעות: 180°×(n-2).
- זווית חיצונית במשולש: שווה לסכום שתי הזוויות הלא צמודות.
- שטח מעגל: πr². היקף מעגל: 2πr.
- משפט תאלס: ישרים מקבילים החותכים זוג ישרים יוצרים קטעים פרופורציוניים.
שווה לדעת: הרשימה הזו מניחה שמושגי היסוד - שטח, היקף, סוגי זוויות - כבר מוכרים לכם. מי שצריך לרענן אותם קודם יכול לחזור על הנדסת בית הספר ב־GeekHero ולחזור לכאן עם בסיס יציב.
5 אסטרטגיות שרטוט עזר
- סמן את כל הנתונים על השרטוט: אורכים, זוויות שוות, צלעות מקבילות. מה שלא רואים - שוכחים.
- הוסף קווי עזר: גובה במשולש, אלכסון במצולע, רדיוס למשיק. קו אחד יכול לפצל בעיה לשני משולשים מוכרים.
- פרק לצורות מוכרות: כל מצולע מורכב ניתן לחלוקה למשולשים. בכל שטח לא מוכר - חפש את הצורות שאתה מכיר.
- חפש משולשים דומים: אם יש שני זוגות של זוויות שוות - המשולשים דומים, ויחס הצלעות שווה.
- צייר מחדש את השרטוט: אם השרטוט המקורי צפוף, צייר אותו גדול בצד הדף עם כל הנתונים - זה חוסך טעויות חישוב.
טעויות נפוצות שמורידות נקודות
- הסתמכות על השרטוט: שני קטעים שנראים שווים - לא בהכרח שווים.
- בלבול בין רדיוס לקוטר בנוסחאות מעגל.
- שכחה של π או הוספת π כשלא צריך.
- חישוב היקף במקום שטח (וההיפך).
- שכחה לבדוק יחידות - שטח במ״ר, נפח במ״ק.
גאומטריה היא הנושא שמתגמל הכי הרבה תרגול: ככל שתפתור יותר שרטוטים, כך תזהה מהר יותר אילו משפטים רלוונטיים. לאחר ששולטים בגאומטריה, חזור לעבר נושאי החשיבה הכמותית הנותרים, ולסיום קח מבחן סימולציה מלא.