מה זו גאומטריה אנליטית ולמה היא משתלמת
גאומטריה אנליטית מחברת בין אלגברה לגאומטריה: כל נקודה מקבלת כתובת מספרית, וכל ישר מקבל משוואה. בפסיכומטרי זה נושא נוח במיוחד - השאלות חוזרות על מספר קטן של נוסחאות, וכמעט תמיד אפשר לפתור אותן בצעדים קבועים מראש: לסמן נקודות, לחשב הפרשים ולהציב בנוסחה. מי שלומד את חמש הנוסחאות שבדף הזה מכסה את רוב שאלות מערכת הצירים במבחן.
מערכת צירים ורביעים
מערכת הצירים בנויה משני צירים מאונכים: ציר x אופקי וציר y אנכי, שנפגשים בראשית הצירים - הנקודה (0,0). כל נקודה במישור מתוארת על ידי זוג סדור (x,y): קודם המרחק האופקי, אחר כך האנכי. שני הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים, שנספרים נגד כיוון השעון החל מהרביע הימני העליון:
| רביע | מיקום | סימן x | סימן y |
|---|---|---|---|
| ראשון | ימני עליון | חיובי | חיובי |
| שני | שמאלי עליון | שלילי | חיובי |
| שלישי | שמאלי תחתון | שלילי | שלילי |
| רביעי | ימני תחתון | חיובי | שלילי |
לדוגמה, הנקודה (3,−2) נמצאת ברביע הרביעי, כי x חיובי ו-y שלילי.
מרחק בין שתי נקודות - פיתגורס בתחפושת
המרחק בין שתי נקודות הוא אורך היתר במשולש ישר זווית שניצביו הם ההפרש האופקי וההפרש האנכי:
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
אין צורך לשנן את הנוסחה כנוסחה נפרדת - זה בדיוק משפט פיתגורס. בפועל, ברוב שאלות הפסיכומטרי ההפרשים יוצרים שלשה פיתגורית מוכרת (3-4-5 או 5-12-13), והמרחק מתקבל בלי שורש בכלל.
אמצע קטע
נקודת האמצע של קטע היא פשוט ממוצע השיעורים - מחשבים ממוצע של ערכי x וממוצע של ערכי y:
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
אמצע הקטע בין (2,1) לבין (6,7) הוא ((2+6)/2, (1+7)/2) = (4,4). הנוסחה עובדת גם בכיוון ההפוך: אם נתונים אמצע וקצה אחד, מוצאים את הקצה השני.
שיפוע - קצב העלייה של הישר
השיפוע מודד כמה y משתנה על כל צעד ימינה ב-x:
m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
שיפוע 2 פירושו שכל צעד של 1 ימינה בציר x מעלה את y ב-2. שיפוע חיובי - הישר עולה; שיפוע שלילי - הישר יורד; שיפוע אפס - ישר אופקי. לישר אנכי אין שיפוע מוגדר. ככל שהערך המוחלט גדול יותר, הישר תלול יותר.
משוואת הישר
כל ישר לא-אנכי אפשר לכתוב בצורה:
y = mx + b
כאשר m הוא השיפוע ו-b הוא נקודת החיתוך עם ציר y (הערך של y כאשר x שווה אפס). כדי למצוא משוואת ישר משתי נקודות: מחשבים שיפוע מהנוסחה שלמעלה, מציבים את אחת הנקודות ומחלצים את b.
ישרים מקבילים ומאונכים
- מקבילים: אותו שיפוע בדיוק. הישרים y = 3x + 5 ו-y = 3x − 2 מקבילים - שניהם בשיפוע 3.
- מאונכים: מכפלת השיפועים היא מינוס 1: m₁ × m₂ = −1. אם לישר אחד שיפוע 2, לישר המאונך לו שיפוע −1/2, כי 2 × (−1/2) = −1.
שטחים על מערכת צירים
כששאלה מבקשת שטח של צורה שקודקודיה נתונים, כמעט תמיד משתלם לחפש צלע אופקית או אנכית: אורכה הוא פשוט הפרש שיעורים, בלי נוסחת מרחק. משולש עם ניצב אופקי וניצב אנכי הוא המקרה הנפוץ - השטח הוא חצי ממכפלת הניצבים. בצורות מסובכות יותר מפרקים את הצורה למלבנים ומשולשים נוחים, או מחסירים משולשים ממלבן חוסם.
דוגמאות פתורות
פתרון: המרחק בין (1,2) לבין (4,6): ההפרש האופקי הוא 3, ההפרש האנכי הוא 4. מציבים בנוסחה: d = √(3² + 4²) = √25 = 5. זיהוי השלשה 3-4-5 נותן את התשובה גם בלי חישוב השורש. המרחק: 5.
פתרון: קודם השיפוע: m = (9−3)/(5−2) = 6/3 = 2. מציבים את (2,3): מקבלים 3 = 2 × 2 + b, ולכן b = −1. המשוואה: y = 2x − 1.
פתרון: הצלע מ-(0,0) ל-(6,0) אופקית ואורכה 6; הצלע מ-(6,0) ל-(6,4) אנכית ואורכה 4. הן מאונכות זו לזו, ולכן זהו משולש ישר זווית. השטח: 6 × 4 ÷ 2 = 12. השטח: 12.
שאלות נפוצות
מוכנים לתרגל?
הנושא הזה נבנה על פיתגורס ועל אלגברה בסיסית - אם אחד מהם חלש, שווה לחזק אותו במקביל. את שאר נושאי הצורות תמצאו בדף הגאומטריה, ואת התמונה המלאה בדף חשיבה כמותית. מסלול לימוד מסודר מחכה במרכז הלימוד.
לשאלות לדוגמה עם פתרון מלא: שאלות מערכת צירים בפסיכומטרי - 12 שאלות עם פתרונות.