מה זו גאומטריה אנליטית ולמה היא משתלמת
גאומטריה אנליטית מחברת בין אלגברה לגאומטריה: כל נקודה מקבלת כתובת מספרית, וכל ישר מקבל משוואה. בפסיכומטרי זה נושא נוח במיוחד - השאלות חוזרות על מספר קטן של נוסחאות, וכמעט תמיד אפשר לפתור אותן בצעדים קבועים מראש: לסמן נקודות, לחשב הפרשים ולהציב בנוסחה. מי שלומד את חמש הנוסחאות שבדף הזה מכסה את רוב שאלות מערכת הצירים במבחן.
מערכת צירים ורביעים
מערכת הצירים בנויה משני צירים מאונכים: ציר x אופקי וציר y אנכי, שנפגשים בראשית הצירים - הנקודה (0,0). כל נקודה במישור מתוארת על ידי זוג סדור (x,y): קודם המרחק האופקי, אחר כך האנכי. שני הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים, שנספרים נגד כיוון השעון החל מהרביע הימני העליון:
| רביע | מיקום | סימן x | סימן y |
|---|---|---|---|
| ראשון | ימני עליון | חיובי | חיובי |
| שני | שמאלי עליון | שלילי | חיובי |
| שלישי | שמאלי תחתון | שלילי | שלילי |
| רביעי | ימני תחתון | חיובי | שלילי |
לדוגמה, הנקודה (3,−2) נמצאת ברביע הרביעי, כי x חיובי ו-y שלילי.
מרחק בין שתי נקודות - פיתגורס בתחפושת
המרחק בין שתי נקודות הוא אורך היתר במשולש ישר זווית שניצביו הם ההפרש האופקי וההפרש האנכי:
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
אין צורך לשנן את הנוסחה כנוסחה נפרדת - זה בדיוק משפט פיתגורס. בפועל, ברוב שאלות הפסיכומטרי ההפרשים יוצרים שלשה פיתגורית מוכרת (3-4-5 או 5-12-13), והמרחק מתקבל בלי שורש בכלל.
אמצע קטע
נקודת האמצע של קטע היא פשוט ממוצע השיעורים - מחשבים ממוצע של ערכי x וממוצע של ערכי y:
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
אמצע הקטע בין (2,1) לבין (6,7) הוא ((2+6)/2, (1+7)/2) = (4,4). הנוסחה עובדת גם בכיוון ההפוך: אם נתונים אמצע וקצה אחד, מוצאים את הקצה השני.
שיפוע - קצב העלייה של הישר
השיפוע מודד כמה y משתנה על כל צעד ימינה ב-x:
m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
שיפוע 2 פירושו שכל צעד של 1 ימינה בציר x מעלה את y ב-2. שיפוע חיובי - הישר עולה; שיפוע שלילי - הישר יורד; שיפוע אפס - ישר אופקי. לישר אנכי אין שיפוע מוגדר. ככל שהערך המוחלט גדול יותר, הישר תלול יותר.
משוואת הישר
כל ישר לא-אנכי אפשר לכתוב בצורה:
y = mx + b
כאשר m הוא השיפוע ו-b הוא נקודת החיתוך עם ציר y (הערך של y כאשר x שווה אפס). כדי למצוא משוואת ישר משתי נקודות: מחשבים שיפוע מהנוסחה שלמעלה, מציבים את אחת הנקודות ומחלצים את b.
ישרים מקבילים ומאונכים
- מקבילים: אותו שיפוע בדיוק. הישרים y = 3x + 5 ו-y = 3x − 2 מקבילים - שניהם בשיפוע 3.
- מאונכים: מכפלת השיפועים היא מינוס 1: m₁ × m₂ = −1. אם לישר אחד שיפוע 2, לישר המאונך לו שיפוע −1/2, כי 2 × (−1/2) = −1.
שטחים על מערכת צירים
כששאלה מבקשת שטח של צורה שקודקודיה נתונים, כמעט תמיד משתלם לחפש צלע אופקית או אנכית: אורכה הוא פשוט הפרש שיעורים, בלי נוסחת מרחק. משולש עם ניצב אופקי וניצב אנכי הוא המקרה הנפוץ - השטח הוא חצי ממכפלת הניצבים. בצורות מסובכות יותר מפרקים את הצורה למלבנים ומשולשים נוחים, או מחסירים משולשים ממלבן חוסם.
דוגמאות פתורות
פתרון: המרחק בין (1,2) לבין (4,6): ההפרש האופקי הוא 3, ההפרש האנכי הוא 4. מציבים בנוסחה: d = √(3² + 4²) = √25 = 5. זיהוי השלשה 3-4-5 נותן את התשובה גם בלי חישוב השורש. המרחק: 5.
פתרון: קודם השיפוע: m = (9−3)/(5−2) = 6/3 = 2. מציבים את (2,3): מקבלים 3 = 2 × 2 + b, ולכן b = −1. המשוואה: y = 2x − 1.
פתרון: הצלע מ-(0,0) ל-(6,0) אופקית ואורכה 6; הצלע מ-(6,0) ל-(6,4) אנכית ואורכה 4. הן מאונכות זו לזו, ולכן זהו משולש ישר זווית. השטח: 6 × 4 ÷ 2 = 12. השטח: 12.
שאלות נפוצות
מוכנים לתרגל?
הנושא הזה נבנה על פיתגורס ועל אלגברה בסיסית - אם אחד מהם חלש, שווה לחזק אותו במקביל. את שאר נושאי הצורות תמצאו בדף הגאומטריה, ואת התמונה המלאה בדף חשיבה כמותית. מסלול לימוד מסודר מחכה במרכז הלימוד.