למה שלוש נוסחאות שוות עשרות שניות בכל שאלה
נוסחאות הכפל המקוצר מופיעות בפסיכומטרי כמעט אף פעם לא בצורתן הגלויה. הן מסתתרות במשוואה ריבועית שצריך לפרק, בשבר אלגברי שצריך לצמצם, בשאלה "אם x + y = 7 ו-xy = 10, מהו x² + y²", ובחישוב כמו 101² − 99² שאמור לקחת שתי שניות ולא דקה. במאגר שלנו 237 שאלות נוסחאות וביטויים אלגבריים, ורובן נבדלות זו מזו רק בתחפושת.
הנוסחאות שהמבחן משתמש בהן
1. ריבוע של סכום ושל הפרש
(a + b)² = a² + 2ab + b² ו-(a − b)² = a² − 2ab + b². האיבר האמצעי - "פעמיים המכפלה" - הוא מה שנבחנים שוכחים: (x + 3)² הוא x² + 6x + 9, לא x² + 9. שתי הנוסחאות נבדלות רק בסימן האיבר האמצעי; האיבר האחרון תמיד חיובי, כי (−b)² = b².
2. הפרש ריבועים
(a + b)(a − b) = a² − b² - הנוסחה השכיחה ביותר במבחן, ובכיוון הפירוק: x² − 16 = (x − 4)(x + 4), 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3), וגם a − b = (√a − √b)(√a + √b) כש-a ו-b חיוביים. במספרים: 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400. אין נוסחה לסכום ריבועים a² + b² - הוא אינו מתפרק.
3. מסכום ומכפלה לסכום ריבועים
מהנוסחה הראשונה נובע a² + b² = (a + b)² − 2ab. אם x + y = 7 ו-xy = 10, אז x² + y² = 49 − 20 = 29 - בלי למצוא את x ואת y. באותה דרך (a − b)² = (a + b)² − 4ab, ו-(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² - הזהות שמאחורי שאלות "אם x + 1/x = 3 מהו x² + 1/x²" (התשובה: 9 − 2 = 7).
4. הצבה ופישוט ביטויים
בשאלת "אם x = 3 ו-y = −2, מהו ערך 2x + y" העבודה היא זהירות בסימנים: 6 + (−2) = 4. כשמציבים מספר שלילי בריבוע - סוגריים: (−2)² = 4 אבל −2² = −4. בביטוי ארוך כדאי קודם לפשט (כינוס איברים דומים, פירוק וצמצום) ורק אז להציב - (x² − 9) / (x − 3) הוא פשוט x + 3 לכל x ≠ 3.
| מה רואים | מה לעשות |
|---|---|
| a² − b² | לפרק מיד ל-(a − b)(a + b) |
| a² ± 2ab + b² | לזהות ריבוע דו-איבר: (a ± b)² |
| נתונים a + b ו-ab, מבקשים a² + b² | (a + b)² − 2ab |
| x² + 1/x² | (x + 1/x)² − 2 |
| שבר אלגברי | לפרק מונה ומכנה לגורמים ולצמצם |
| 98 · 102, 51² | (100 − 2)(100 + 2), (50 + 1)² |
אם השאלה נותנת שני נתונים על שני נעלמים ומבקשת ביטוי סימטרי (סכום ריבועים, ריבוע ההפרש) - כמעט בטוח שלא צריך למצוא את הנעלמים עצמם. חפשו את הזהות שמחברת בין הנתון למבוקש.
2 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: במקום לחשב ריבועים, מפרקים: 47² − 43² = (47 − 43)(47 + 43) = 4 · 90 = 360. מחלקים: 360 / 8 = 45. בדיקה גסה: 47² ≈ 2209, 43² = 1849, ההפרש 360. הנוסחה חסכה שני חישובי ריבוע - ובפסיכומטרי, בלי מחשבון, זה ההבדל בין שאלה של 20 שניות לשאלה של דקה וחצי.
פתרון: (a − b)² = a² − 2ab + b², ו-a² + b² = (a + b)² − 2ab = 36 − 10 = 26. לכן (a − b)² = 26 − 10 = 16. או בצעד אחד: (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 36 − 20 = 16. בדיקה: הנעלמים הם 5 ו-1 (סכום 6, מכפלה 5), ואכן (5 − 1)² = 16. שימו לב שהמסיח "26" הוא a² + b² - צעד ביניים שנשאר על הדף.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- ריבוע בלי איבר אמצעי. (x + 3)² ≠ x² + 9. תמיד שלושה איברים: x² + 6x + 9.
- פירוק סכום ריבועים. x² + 9 אינו מתפרק. רק הפרש ריבועים מתפרק.
- סימן האיבר האחרון. ב-(a − b)² האיבר האחרון הוא +b², כי ריבוע של שלילי חיובי.
- −2² מול (−2)². הראשון −4, השני 4. בהצבת מספר שלילי - תמיד סוגריים.
- צמצום איבר במקום גורם. ב-(x² + 4) / x אסור לצמצם את x² עם x; צמצום נעשה רק על גורם משותף לכל המונה ולכל המכנה.
איך לתרגל נוסחאות הכפל המקוצר נכון
התחילו מפתיחה ופירוק ישירים עד ששלוש הנוסחאות אוטומטיות בשני הכיוונים, עברו לחישובים מספריים (101² − 99², 49 · 51), ואז לשאלות "מסכום ומכפלה" ולצמצום שברים אלגבריים. בדף השאלות הפתורות יש שאלות נוסחאות מהמאגר עם פתרון מלא גלוי, ובתרגול האינטראקטיבי מחכות כל 237 השאלות עם בדיקה מיידית. הנוסחאות הן גם הכלי המרכזי במשוואות ריבועיות - שם הפירוק לגורמים הוא הדרך המהירה לפתרון.
שאלות נפוצות
מהן שלוש נוסחאות הכפל המקוצר שחייבים לדעת לפסיכומטרי?
ריבוע של סכום: a ועוד b בריבוע שווה a בריבוע ועוד 2ab ועוד b בריבוע. ריבוע של הפרש: אותו דבר עם מינוס 2ab. הפרש ריבועים: a ועוד b כפול a פחות b שווה a בריבוע פחות b בריבוע. הנוסחה השלישית היא השכיחה ביותר במבחן, בעיקר בכיוון הפירוק - לראות x בריבוע פחות 9 ולכתוב מיד x פחות 3 כפול x ועוד 3.
איך מחשבים סכום ריבועים כשנתונים רק הסכום והמכפלה?
בעזרת הזהות a בריבוע ועוד b בריבוע שווה a ועוד b בריבוע פחות 2ab. אם הסכום 7 והמכפלה 10, סכום הריבועים הוא 49 פחות 20, כלומר 29 - בלי למצוא את המספרים עצמם. באותה דרך ריבוע ההפרש שווה ריבוע הסכום פחות 4ab.
איך משתמשים בנוסחאות הכפל המקוצר לחישוב מהיר בלי מחשבון?
מפרקים מספרים "לא נוחים" לסכום או הפרש של מספר עגול ומספר קטן. 98 כפול 102 הוא 100 פחות 2 כפול 100 ועוד 2, כלומר 10,000 פחות 4 - 9,996. 51 בריבוע הוא 50 ועוד 1 בריבוע, כלומר 2,500 ועוד 100 ועוד 1 - 2,601. והפרש של שני ריבועים, כמו 47 בריבוע פחות 43 בריבוע, הוא הפרש המספרים כפול סכומם: 4 כפול 90 שווה 360.