למה בעיות באותיות מפחידות - ולמה הן קלות יותר ממה שנדמה
"בכיתה יש n תלמידים, k מהם בנים. כמה בנות יש בכיתה?" - השאלה פשוטה, אבל ברגע שהתשובות הן n − k, k − n, n / k ו-nk רבים מהנבחנים מאבדים ביטחון. בעיה באותיות היא שאלה מילולית רגילה שבה המספרים הוחלפו באותיות, והמבחן בודק שני דברים: האם אתם יודעים לבנות ביטוי, והאם אתם יודעים לבדוק אותו. במאגר שלנו 116 בעיות באותיות ושאלות "משתנה כללי", וכולן נפתרות באחת משתי הדרכים שלמטה.
הכללים שהמבחן משתמש בהם
1. בונים את הביטוי בדיוק כמו עם מספרים
שאלו את עצמכם "מה הייתי עושה אם n היה 30 ו-k היה 12?" - הייתי מחסיר: 30 − 12. אז התשובה היא n − k. "מחיר של m עפרונות אם עיפרון עולה p" - עם מספרים הייתי כופל, ולכן mp. "כמה עפרונות אפשר לקנות ב-s שקלים" - הייתי מחלק, ולכן s / p. הפעולה שהייתם עושים עם מספרים היא הפעולה בביטוי.
2. הצבת מספרים - הדרך הבטוחה
בוחרים לכל אות מספר קטן ונוח (לא 0 ולא 1 - הם מוחקים הבדלים בין תשובות), פותרים את השאלה במספרים, ומציבים את אותם מספרים בארבע התשובות. רק תשובה שנותנת את המספר שקיבלתם יכולה להיות נכונה. אם שתי תשובות נותנות אותו מספר - בוחרים מספרים אחרים ובודקים רק את שתיהן. בשאלות אחוזים מציבים 100; בשאלות "x גדל פי k" מציבים k = 3.
3. יחס בין משתנים דרך משתנה שלישי
"a גדול פי 2 מ-b, ו-b גדול פי 3 מ-c. מה היחס בין a ל-c?" מתרגמים: a = 2b, b = 3c, ומציבים: a = 2 · 3c = 6c. היחס a : c = 6 : 1. הצבה מאמתת: c = 1, b = 3, a = 6. "גדול פי k" תמיד מתורגם ל-גדול = k · קטן - הצד הגדול לבד, הקטן מוכפל.
4. ביטויים שנבנים ממספרים "כלליים"
מספר זוגי כללי הוא 2n, אי-זוגי 2n + 1, המספר הזוגי הבא אחרי 2n הוא 2n + 2. "מספר x גדל ב-50%" הוא 1.5x, לא x + 50. "מספר דו-ספרתי שספרת העשרות שלו a וספרת האחדות b" הוא 10a + b, לא ab. שלושת התרגומים האלה חוזרים בשאלות רבות, וכדאי לזכור אותם כמילון קטן.
| הניסוח בשאלה | הביטוי |
|---|---|
| a גדול פי k מ-b | a = kb |
| a גדול ב-k מ-b | a = b + k |
| x גדל ב-p אחוזים | x · (1 + p/100) |
| מחיר m פריטים במחיר p לפריט | mp |
| כמה פריטים ב-s שקלים | s / p |
| מספר זוגי / אי-זוגי כללי | 2n / 2n + 1 |
| מספר דו-ספרתי מספרות a, b | 10a + b |
אחרי שבניתם ביטוי, בדקו אותו עם מספרים - גם אם אתם בטוחים. הצבה אחת (עשר שניות) מזהה היפוך של n − k ל-k − n או של s / p ל-p / s, ואלה בדיוק המסיחים שהמבחן מכין.
2 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: אחרי ההוצאה נשארו x − y. מוסיפים מחצית מזה: (x − y) + (x − y) / 2 = 1.5(x − y) = 3(x − y) / 2. בדיקה בהצבה: x = 10, y = 4 - נשארו 6, מוסיפים 3, סך הכול 9. הביטוי: 3 · 6 / 2 = 9. נכון. המסיח (x − y) / 2 מחכה למי שחישב רק את התוספת, ו-x − y / 2 למי ששכח סוגריים.
פתרון: a = 2b; "b קטן פי 4 מ-c" פירושו c = 4b, כלומר b = c / 4. לכן a = 2 · c / 4 = c / 2 - a הוא מחצית מ-c. הצבה: b = 1, אז a = 2 ו-c = 4; ואכן 2 / 4 = 1 / 2. המסיח "פי 8" מחכה למי שתרגם "קטן פי 4" ל-b = 4c - ההיפוך הקלאסי.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- היפוך כיוון. "a גדול פי 3 מ-b" הוא a = 3b. הצבה: אם b = 2, a חייב להיות 6 - ולא 2/3.
- אחוזים כתוספת מספרית. "x גדל ב-50%" הוא 1.5x, לא x + 50. הצבת x = 100 חושפת את זה מיד.
- הצבת 0 או 1. עם n = 1 התשובות n, n² ו-√n זהות. בוחרים 2, 3, 5.
- סוגריים שנעלמים. (x − y) / 2 ו-x − y / 2 הם ביטויים שונים. בבניית ביטוי בשלבים - סוגריים סביב כל שלב.
- הצבה בתשובה אחת בלבד. בודקים את כל ארבע התשובות; אם שתיים מתאימות, מציבים מספרים אחרים.
איך לתרגל בעיות באותיות נכון
התחילו משאלות של פעולה אחת (n − k, mp) ופתרו כל אחת בשתי הדרכים - בנייה והצבה - עד ששתיהן מסכימות תמיד. עברו לשאלות בשלבים ולשאלות יחס דרך משתנה שלישי, ואז לשאלות אחוזים באותיות. בדף השאלות הפתורות יש בעיות באותיות מהמאגר עם פתרון מלא גלוי, ובתרגול האינטראקטיבי מחכות כל 116 השאלות עם בדיקה מיידית. הנושא הוא הגשר בין שאלות מילוליות למערכות משוואות - מי ששולט בו מתרגם כל שאלה מילולית מהר יותר.
שאלות נפוצות
איך פותרים בעיה באותיות כשלא מצליחים לבנות את הביטוי?
מציבים מספרים. בוחרים לכל אות מספר קטן ונוח שאינו 0 או 1, פותרים את השאלה עם המספרים האלה כאילו הייתה שאלה מילולית רגילה, ואז מציבים את אותם מספרים בכל אחת מארבע התשובות. רק תשובה שנותנת את המספר שקיבלתם יכולה להיות נכונה. אם שתי תשובות מתאימות, בוחרים מספרים אחרים ובודקים רק אותן.
איך מתרגמים "a גדול פי k מ-b" לביטוי?
a שווה k כפול b. הצד הגדול נשאר לבד, והצד הקטן מוכפל. בדיקה מהירה: אם b שווה 2 ו-a גדול פי 3, a חייב להיות 6 - ואכן 3 כפול 2. "b קטן פי k מ-a" הוא אותו משפט בדיוק, ולכן גם הוא a שווה k כפול b. "גדול ב-k" לעומת זאת הוא חיבור: a שווה b ועוד k.
אילו מספרים כדאי להציב בבעיות באותיות?
מספרים קטנים ושונים זה מזה, כמו 2, 3 ו-5, שאינם 0 ואינם 1 - כי אפס מאפס ביטויים ואחד אינו מבדיל בין n, n בריבוע ושורש n. בשאלות אחוזים מציבים 100, ובשאלות שבהן כמות צריכה להתחלק, מספר שמתחלק בנוח, כמו 12 או 60.