למה מערכת משוואות היא המבנה הנפוץ ביותר בשאלות המילוליות
"סכום גילי אב ובנו 50, ובעוד חמש שנים האב יהיה גדול פי 3" - שני נתונים, שני נעלמים. "3 כרטיסי מבוגר ו-2 כרטיסי ילד עולים 130, ו-2 מבוגר ו-3 ילד עולים 120" - שוב שני נתונים ושני נעלמים. רוב השאלות המילוליות בפסיכומטרי מסתתרות מאחורי מערכת של שתי משוואות, ולכן המהירות כאן נמדדת בעשרות שאלות. במאגר שלנו 125 שאלות מערכות משוואות, מהמערכת הישירה ועד השאלה המילולית המלאה.
הכללים שהמבחן משתמש בהם
1. שיטת ההצבה
מבודדים נעלם אחד במשוואה שבה זה קל (מקדם 1), ומציבים את הביטוי במשוואה השנייה. מ-y = 2x − 1 ו-3x + y = 14 מקבלים 3x + 2x − 1 = 14, כלומר x = 3 ואז y = 5. השיטה המהירה ביותר כשנעלם אחד כבר מבודד או כמעט מבודד - וזה המצב ברוב השאלות המילוליות.
2. שיטת החיבור והחיסור
כשהמקדמים של אחד הנעלמים שווים - מחסירים משוואה ממשוואה; כשהם נגדיים - מחברים. x + y = 10 ו-x − y = 4: חיבור נותן 2x = 14, x = 7, ומכאן y = 3. אם המקדמים שונים, כופלים תחילה משוואה אחת (או שתיהן) במספר שישווה אותם - 2x + 3y = 12 ו-x + y = 5: כופלים את השנייה ב-2 ומחסירים, y = 2, x = 3.
3. קודם קוראים מה מבקשים
השאלה לא תמיד מבקשת את x ואת y. אם נתון x + y = 10 ו-x − y = 4 ומבקשים x² − y², לא צריך לפתור בכלל: x² − y² = (x + y)(x − y) = 40. אם מבקשים "כמה עולים כרטיס מבוגר וכרטיס ילד יחד", לעיתים מספיק לחבר את שתי המשוואות ולחלק. הרגל שווה נקודות: לסמן את המבוקש לפני שמתחילים.
4. מתי אין פתרון יחיד
שתי משוואות שהן כפולה זו של זו (x + y = 5 ו-2x + 2y = 10) הן משוואה אחת בתחפושת - אינסוף פתרונות, ואי אפשר למצוא את x. שתי משוואות עם אותם מקדמים ואיבר חופשי שונה (x + y = 5 ו-x + y = 7) סותרות זו את זו - אין פתרון. שאלות "כמה נעלמים אפשר למצוא" ושאלות עם פרמטר בודקות בדיוק את זה.
| מה רואים במערכת | השיטה המהירה |
|---|---|
| נעלם מבודד באחת המשוואות (y = …) | הצבה |
| מקדמים שווים או נגדיים לאחד הנעלמים | חיסור או חיבור המשוואות |
| מקדמים שונים בלי בידוד נוח | כפל משוואה אחת כדי להשוות מקדמים, ואז חיבור |
| מבקשים סכום, הפרש או ביטוי סימטרי | לבדוק אם אפשר בלי לפתור כל נעלם |
| משוואה אחת היא כפולה של השנייה | אינסוף פתרונות - אי אפשר לקבוע את הנעלמים |
בשאלה מילולית, כתבו את שתי המשוואות לפני שאתם נוגעים במספרים - ורק אז בחרו שיטה. רוב הטעויות במערכות אינן טעויות פתרון אלא טעויות תרגום: "האב גדול פי 3 מהבן" הוא a = 3b, לא 3a = b.
2 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: מסמנים עט p, מחברת n: 3p + 2n = 23 ו-3p + 5n = 35. המקדם של p זהה בשתי המשוואות, ולכן מחסירים את הראשונה מהשנייה - כולל האגף הימני: 3n = 12, n = 4. מציבים בראשונה: 3p + 8 = 23, 3p = 15, p = 5. בדיקה בשנייה: 15 + 20 = 35. נכון. שימו לב שהשאלה ביקשה עט בלבד - המסיח "4" מחכה למי שעוצר במחברת.
פתרון: מחברים את שתי המשוואות: 3x + 3y = 21, ולכן x + y = 7. שני צעדים במקום חמישה. (לשם השוואה: פתרון מלא נותן x = 4, y = 3, ואכן 4 + 3 = 7.) כשהמערכת סימטרית והמבוקש סימטרי - חיבור או חיסור המשוואות כמעט תמיד מספיק.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- חיסור חלקי. כשמחסירים משוואה ממשוואה מחסירים גם את האגף הימני - 31 − 19, לא רק את האיברים עם הנעלמים.
- תרגום הפוך של "פי". "האב גדול פי 3 מהבן" הוא a = 3b. הצד ה"גדול" מקבל את המקדם 1, הצד ה"קטן" מוכפל.
- הצבה במשוואה שממנה בודדו. את הביטוי המבודד מציבים במשוואה השנייה; הצבה באותה משוואה מחזירה 0 = 0.
- סימן בכפל משוואה. כשכופלים משוואה ב-−2 כדי להשוות מקדמים, כל שלושת האיברים משנים סימן.
- עצירה בנעלם הראשון. אחרי שמצאתם x, בדקו מה השאלה ביקשה - לעיתים y, לעיתים הסכום, לעיתים המכפלה.
איך לתרגל מערכות משוואות נכון
התחילו ממערכות ישירות שבהן שיטת החיבור פועלת מיד, עברו למערכות שדורשות כפל במקדם, ואז לשאלות מילוליות שבהן העבודה היא בתרגום. בדף השאלות הפתורות יש שאלות מערכות מהמאגר עם פתרון מלא גלוי, ובתרגול האינטראקטיבי מחכות כל 125 השאלות עם בדיקה מיידית. כשהתרגום יושב, המשיכו לשאלות מילוליות ולבעיות תנועה - שתיהן מערכות משוואות בתחפושת.
שאלות נפוצות
מתי כדאי להשתמש בשיטת ההצבה ומתי בשיטת החיבור?
הצבה - כשנעלם אחד כבר מבודד או שמקדמו 1, כמו ברוב השאלות המילוליות. חיבור או חיסור - כשהמקדמים של אחד הנעלמים שווים או נגדיים בשתי המשוואות, ואז המשוואה השנייה מסלקת אותו בצעד אחד. אם המקדמים שונים, כופלים משוואה אחת במספר שמשווה אותם ואז מחברים.
מתי למערכת של שתי משוואות אין פתרון יחיד?
כששתי המשוואות אינן בלתי תלויות. אם אחת היא כפולה של השנייה, כמו x ועוד y שווה 5 ו-2x ועוד 2y שווה 10, יש אינסוף פתרונות ואי אפשר לקבוע את x. אם האגף השמאלי זהה או פרופורציוני והאגף הימני לא, כמו x ועוד y שווה 5 ו-x ועוד y שווה 7, אין פתרון בכלל.
איך מתרגמים שאלה מילולית לשתי משוואות?
מסמנים כל כמות לא ידועה באות, ומתרגמים כל משפט נתון למשוואה אחת - שני נתונים נותנים שתי משוואות. "סכום הגילים 50" הוא a ועוד b שווה 50; "האב גדול פי 3 מהבן" הוא a שווה 3b; "בעוד 5 שנים" מוסיף 5 לשני הגילים. לפני שפותרים, מסמנים מה השאלה מבקשת - לעיתים די בסכום או בהפרש.