תרגול מערכות משוואות לפסיכומטרי
שאלות מערכת משוואות לפסיכומטרי עם פתרונות מלאים, שלב אחר שלב
הוראות לנבחן
בעמוד זה תמצאו 12 שאלות מערכת משוואות אמיתיות מתוך מאגר של 99 שאלות בנושא, לצד פתרון מלא ומוסבר לכל שאלה. השאלות מכסות את שתי שיטות הפתרון המרכזיות - הצבה וחיבור/חיסור בין משוואות - וגם מערכות במסגרת סיפור מילולי (כרטיסים, ראשים ורגליים) ושאלת קיצור שבה מחשבים x+y ישירות בלי לפתור כל משתנה בנפרד.
בקצרה
במאגר שלנו 99 שאלות מערכת משוואות, ובעמוד זה 12 מהן לדוגמה עם פתרון מלא. הנושא מכסה שיטת הצבה, שיטת חיבור/חיסור בין משוואות (כולל הכפלה כדי להשוות מקדם), מערכות במסגרת בעיה מילולית, וקיצור לחישוב x+y או x-y ישירות - ברמות קושי 1-5.
99
שאלות מערכת משוואות במאגר
עודכן: אוגוסט 2026
שאלות מערכת משוואות בפסיכומטרי - מה זה כולל
מערכת משוואות עם שני נעלמים היא הרחבה טבעית של משוואה עם נעלם אחד: יש שני משתנים (למשל x ו-y) ושתי משוואות שצריך לקיים בו-זמנית, ולכן צריך שתי דרכי מידע כדי למצוא את שני הערכים. במאגר שלנו יש 99 שאלות מערכת משוואות מתוך מאגר כמותי של 8,494 שאלות, וב-12 השאלות שבעמוד הזה תוכלו לראות דוגמה מייצגת לכל הסוגים העיקריים בנושא.
ברמות הקושי הנמוכות (1-2) מדובר בעיקר במערכות מהצורה x+y=... וגם x-y=..., שבהן חיבור פשוט בין שתי המשוואות מבטל את y מיד, וגם במערכות שבהן משתנה אחד כבר מבודד (כמו y=x+3) ולכן נוח להציב אותו ישירות במשוואה השנייה. ברמות הבינוניות (3) מצטרפות בעיות מילוליות שמנוסחות במילים ולא במשוואות מוכנות - כמו חלוקת כרטיסים לפי מחיר, או ספירת ראשים ורגליים - וצריך קודם להקים את שתי המשוואות בעצמכם ורק אז לפתור.
ברמות הגבוהות יותר (4-5) מופיעות מערכות שבהן אף מקדם לא זהה בין המשוואות, ולכן צריך להכפיל את שתי המשוואות (לא רק אחת) כדי להשוות מקדם של משתנה אחד לפני שמחסרים או מחברים, וגם שאלות קיצור שבהן מבקשים רק את הסכום x+y או ההפרש x-y - ואפשר לקבל אותם ישירות מחיבור או חיסור המשוואות המקוריות, בלי לבודד כל משתנה בנפרד. אלה השאלות שבהן טעויות סימן בחיסור בין משוואות, או החלפה בין x ל-y בתשובה הסופית, גורמות לרוב הטעויות בפועל.
12 שאלות מערכת משוואות עם פתרונות מלאים
שאלה 1מערכת משוואות · רמה 1/5
פתרו את מערכת המשוואות: x + y = 10 וגם x - y = 4. מהם x ו-y?
- א. x = 7, y = 3
- ב. x = 3, y = 7
- ג. x = 8, y = 2
- ד. x = 6, y = 4
הצג פתרון
התשובה הנכונה: א. נשתמש בשיטת החיבור, כי מקדמי y הם 1+ ו-1- ומתבטלים מיד בחיבור: (x+y)+(x-y)=10+4 ⇒ 2x=14 ⇒ x=7. מציבים במשוואה הראשונה: 7+y=10 ⇒ y=3. בדיקה: 7+3=10 ו-7-3=4 - שתי המשוואות מתקיימות.
שאלה 2מערכת משוואות · רמה 1/5
פתרו את מערכת המשוואות: x + y = 15 וגם x - y = 5. מהם x ו-y?
- א. x = 5, y = 10
- ב. x = 10, y = 5
- ג. x = 12, y = 3
- ד. x = 9, y = 6
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. שוב שיטת החיבור, מאותה הסיבה: מקדמי y מתבטלים מיד. (x+y)+(x-y)=15+5 ⇒ 2x=20 ⇒ x=10. מציבים: 10+y=15 ⇒ y=5. בדיקה: 10+5=15 ו-10-5=5 - מתקיים.
שאלה 3מערכת משוואות · רמה 2/5
פתרו את מערכת המשוואות: y = x + 3 וגם 2x + y = 18. מהם x ו-y?
- א. x = 8, y = 5
- ב. x = 6, y = 9
- ג. x = 5, y = 8
- ד. x = 4, y = 7
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. כאן נוחה יותר שיטת ההצבה, כי y כבר מבודד במשוואה הראשונה. מציבים y=x+3 בתוך המשוואה השנייה: 2x+(x+3)=18 ⇒ 3x+3=18 ⇒ 3x=15 ⇒ x=5. ואז y=5+3=8. בדיקה: 8=5+3 ו-2·5+8=18 - מתקיים.
שאלה 4מערכת משוואות · רמה 2/5
פתרו את מערכת המשוואות: x = 2y + 1 וגם 3x + y = 24. מהם x ו-y?
- א. x = 3, y = 7
- ב. x = 9, y = 4
- ג. x = 5, y = 2
- ד. x = 7, y = 3
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ד. שיטת ההצבה נוחה כאן כי x כבר מבודד. מציבים x=2y+1 בתוך המשוואה השנייה: 3(2y+1)+y=24 ⇒ 6y+3+y=24 ⇒ 7y=21 ⇒ y=3. ואז x=2·3+1=7. בדיקה: 7=2·3+1 ו-3·7+3=24 - מתקיים. שימו לב לתשובה ג׳ - היא מקיימת רק את המשוואה הראשונה (5=2·2+1), אבל טעות בהצבה במשוואה השנייה מובילה אליה בטעות.
שאלה 5מערכת משוואות · רמה 2/5
פתרו את מערכת המשוואות: 2x + y = 16 וגם 2x - y = 8. מהם x ו-y?
- א. x = 6, y = 4
- ב. x = 4, y = 6
- ג. x = 5, y = 6
- ד. x = 7, y = 2
הצג פתרון
התשובה הנכונה: א. שיטת החיבור נוחה כאן כי מקדמי y הם 1+ ו-1-: (2x+y)+(2x-y)=16+8 ⇒ 4x=24 ⇒ x=6. מציבים: 2·6+y=16 ⇒ y=4. בדיקה: 2·6+4=16 ו-2·6-4=8 - מתקיים.
שאלה 6מערכת משוואות · רמה 3/5
פתרו את מערכת המשוואות: 3x + 2y = 16 וגם x + y = 6. מהם x ו-y?
- א. x = 2, y = 4
- ב. x = 4, y = 2
- ג. x = 5, y = 1
- ד. x = 3, y = 3
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. כאן מקדמי y אינם זהים (2 מול 1), אז מכפילים את המשוואה השנייה ב-2 כדי להשוות: 2x+2y=12. מחסרים אותה מהמשוואה הראשונה: (3x+2y)-(2x+2y)=16-12 ⇒ x=4. מציבים: 4+y=6 ⇒ y=2. בדיקה: 3·4+2·2=16 ו-4+2=6 - מתקיים.
שאלה 7מערכת משוואות · רמה 3/5
סכום שני מספרים הוא 24, וההפרש ביניהם הוא 8. מהו המספר הגדול מבין השניים?
- א. 20
- ב. 12
- ג. 16
- ד. 18
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. נסמן ב-x את המספר הגדול וב-y את הקטן: x+y=24 וגם x-y=8. זו בדיוק צורת סכום-והפרש, אז שיטת החיבור נוחה ומיידית: (x+y)+(x-y)=24+8 ⇒ 2x=32 ⇒ x=16. מכאן y=8. בדיקה: 16+8=24 ו-16-8=8 - מתקיים. המספר הגדול הוא 16.
שאלה 8מערכת משוואות · רמה 3/5
בחצר יש תרנגולות (שתי רגליים) וארנבים (ארבע רגליים), יחד 15 ראשים ו-40 רגליים. כמה תרנגולות יש בחצר?
- א. 5
- ב. 7
- ג. 8
- ד. 10
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ד. נסמן ב-c את מספר התרנגולות וב-r את מספר הארנבים: c+r=15 (ראשים) וגם 2c+4r=40 (רגליים). שיטת ההצבה נוחה כאן: מבודדים c=15-r ומציבים במשוואת הרגליים: 2(15-r)+4r=40 ⇒ 30-2r+4r=40 ⇒ 2r=10 ⇒ r=5. מכאן c=15-5=10. בדיקה: 10+5=15 ראשים, 2·10+4·5=40 רגליים - מתקיים. יש 10 תרנגולות.
שאלה 9מערכת משוואות · רמה 3/5
במופע נמכרו כרטיסים לילדים ולמבוגרים. כרטיס מבוגר עולה 40 ש״ח וכרטיס ילד עולה 25 ש״ח. נמכרו סה״כ 30 כרטיסים בתמורה כוללת של 990 ש״ח. כמה כרטיסי מבוגרים נמכרו?
- א. 16
- ב. 14
- ג. 18
- ד. 12
הצג פתרון
התשובה הנכונה: א. נסמן ב-a את מספר כרטיסי המבוגרים וב-c את מספר כרטיסי הילדים: a+c=30 (כמות) וגם 40a+25c=990 (תמורה בש״ח). שיטת ההצבה נוחה: מבודדים c=30-a ומציבים: 40a+25(30-a)=990 ⇒ 40a+750-25a=990 ⇒ 15a=240 ⇒ a=16. מכאן c=14. בדיקה: 16+14=30 כרטיסים, 40·16+25·14=640+350=990 ש״ח - מתקיים. נמכרו 16 כרטיסי מבוגרים.
שאלה 10מערכת משוואות · רמה 4/5
נתון: 3x + 2y = 22 וגם 2x + 3y = 23. מהו הערך של x + y, בלי לחשב את x ואת y בנפרד?
- א. 45
- ב. 9
- ג. 8
- ד. 11
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. זהו קיצור שכדאי להכיר: כששואלים רק על x+y, אין צורך לבודד כל משתנה בנפרד - מספיק לחבר את שתי המשוואות המקוריות. שיטת החיבור נוחה כי חיבור שתי המשוואות נותן ביטוי שהוא כפולה של (x+y): (3x+2y)+(2x+3y)=22+23 ⇒ 5x+5y=45 ⇒ 5(x+y)=45 ⇒ x+y=9. בדיקה: אכן קיים פתרון עם x=4 ו-y=5 שמקיים 3·4+2·5=22 ו-2·4+3·5=23, וסכומם 9. תשובה א׳ היא השגיאה הנפוצה - לשכוח לחלק ב-5 אחרי החיבור.
שאלה 11מערכת משוואות · רמה 4/5
פתרו את מערכת המשוואות: 5x + 3y = 21 וגם 3x + 5y = 19. מהם x ו-y?
- א. x = 2, y = 3
- ב. x = 4, y = 1
- ג. x = 3, y = 2
- ד. x = 1, y = 4
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. כאן אין שום מקדם זהה בין המשוואות, אז שיטת החיבור/חיסור דורשת הכפלה של שתי המשוואות (לא רק אחת) כדי להשוות מקדם - נבחר להשוות את מקדם y למכפלה המשותפת 15: מכפילים את המשוואה הראשונה ב-5: 25x+15y=105. מכפילים את המשוואה השנייה ב-3: 9x+15y=57. מחסרים: 16x=48 ⇒ x=3. מציבים במשוואה הראשונה המקורית: 5·3+3y=21 ⇒ 3y=6 ⇒ y=2. בדיקה: 5·3+3·2=21 ו-3·3+5·2=19 - מתקיים בשתי המשוואות.
שאלה 12מערכת משוואות · רמה 5/5
פתרו את מערכת המשוואות: 4x - 3y = 7 וגם 2x + y = 11. מהם x ו-y?
- א. x = 3, y = 4
- ב. x = 5, y = 1
- ג. x = 4, y = -3
- ד. x = 4, y = 3
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ד. שיטת ההצבה נוחה כאן כי y קל לבודד מהמשוואה השנייה, שבה מקדמו 1: y=11-2x. מציבים במשוואה הראשונה, ושמים לב לסימן המינוס לפני הסוגריים: 4x-3(11-2x)=7 ⇒ 4x-33+6x=7 ⇒ 10x=40 ⇒ x=4. מכאן y=11-2·4=3. בדיקה: 4·4-3·3=16-9=7 ו-2·4+3=11 - מתקיים בשתי המשוואות. תשובה ג׳ היא בדיוק השגיאה שהאזהרה מתייחסת אליה - טעות סימן שהופכת את y=11-2x ל-y=2x-11 בטעות.
איך ניגשים למערכת משוואות עם שני נעלמים
- בחרו שיטה לפי צורת המערכת: אם משתנה כבר מבודד באחת המשוואות (כמו y=x+3) - שיטת ההצבה מהירה יותר. אם המקדמים של אחד המשתנים זהים או קלים להשוואה - שיטת החיבור/חיסור מהירה יותר.
- בשיטת החיבור/חיסור, אם המקדמים אינם זהים, אפשר להכפיל רק משוואה אחת (אם מקדם אחד הוא כפולה של השני) או את שתיהן (במכפלה המשותפת של שני המקדמים) כדי להשוות אותם לפני שמחברים או מחסרים.
- כשמחסרים בין שתי משוואות, שימו לב במיוחד לסימן - חיסור של אגף עם מקדם שלילי הופך לחיבור, וזו נקודת הטעות הנפוצה ביותר בשיטת החיסור.
- בבעיה מילולית, קודם מגדירים מפורשות מה כל משתנה מייצג, ואז מתרגמים כל משפט נתון למשוואה נפרדת - למשל "יחד 15 ראשים" הופך ל-c+r=15.
- כששואלים רק על x+y או x-y, בדקו קודם אם חיבור או חיסור ישיר של שתי המשוואות המקוריות נותן את הביטוי המבוקש - זה חוסך זמן משמעותי לעומת פתרון מלא של x ו-y בנפרד.
- תמיד בדקו את הפתרון על ידי הצבה חזרה בשתי המשוואות המקוריות, לא רק באחת מהן - טעות נפוצה היא לבדוק רק משוואה אחת ולפספס טעות שקרתה בדרך.
מה הלאה - מתרגול בדף לתרגול אינטראקטיבי
הפתרונות בדף הזה טובים ללמידה ראשונה, אבל את הביטחון בונים בתרגול עם משוב: בעמוד התרגול האינטראקטיבי מחכות כל 99 שאלות מערכת המשוואות שבמאגר, עם בדיקה מיידית, הסבר לכל שאלה ומעקב טעויות אישי. אפשר גם לחזור על התיאוריה של אלגברה ומערכות משוואות לפני שמתחילים, או לתרגל תחילה משוואות עם נעלם אחד אם צריך חיזוק בבסיס לפני שעוברים לשני נעלמים.
שאלות נפוצות
כמה שאלות מערכת משוואות יש בפסיכומטרי?
במאגר שלנו יש 99 שאלות בנושא מערכת שתי משוואות עם שני נעלמים, בכל רמות הקושי. במבחן האמיתי מספר השאלות בנושא משתנה בין מועדים, ולכן אי אפשר לקבוע מראש כמה בדיוק יופיעו בפרק הכמותי.
מתי כדאי להשתמש בשיטת ההצבה ומתי בשיטת החיבור/חיסור?
שיטת ההצבה נוחה כשאחד המשתנים כבר מבודד באחת המשוואות, כמו y=x+3, כי אפשר להציב אותו ישירות במשוואה השנייה. שיטת החיבור/חיסור נוחה כשהמקדמים של אחד המשתנים זהים או קלים להשוואה בכפל, כי אז חיבור או חיסור בין המשוואות מבטל את המשתנה הזה מיד.
איך פותרים מערכת משוואות כשאף מקדם לא זהה בין המשוואות?
מכפילים את שתי המשוואות (לא רק אחת) כך שהמקדם של אחד המשתנים יהיה זהה בשתיהן - למשל אם המקדמים הם 5 ו-3, מביאים לכפולה המשותפת 15. אחרי ההכפלה מחסרים או מחברים בין המשוואות כדי לבטל את המשתנה הזה ולקבל משוואה עם נעלם אחד בלבד.
האם אפשר לחשב x+y בלי לפתור את x ואת y בנפרד?
כן, וזה קיצור שימושי כששואלים במפורש על x+y או x-y. אם מחברים את שתי המשוואות המקוריות ומקבלים ביטוי שהוא כפולה של (x+y), אפשר לחלק ולקבל את הערך המבוקש ישירות, בלי לבודד כל משתנה בנפרד.