חשיבה כמותית · אלגברה
שאלות נוסחאות הכפל המקוצר לפסיכומטרי עם פתרון מלא לכל שאלה
הוראות לנבחן
בעמוד 12 שאלות נוסחאות הכפל המקוצר מהמאגר שלנו, מדורגות מהקל למורכב, ולכל שאלה פתרון שלב-אחר-שלב שמפרש בדיוק איזו נוסחה משמשת בכל שלב. עברו על השאלות לפי הסדר כדי לראות את שלוש הנוסחאות בכל הכיוונים - פיתוח, פירוק לגורמים וקיצורי חישוב - ולא רק וריאציה אחת שחוזרת על עצמה.
בקצרה
12 שאלות נוסחאות הכפל המקוצר לדוגמה, כל אחת עם פתרון מלא ושם הנוסחה שבה משתמשים. הן חלק ממאגר של 112 שאלות בנושא באתר, בתוך מאגר הכמותי הכולל של 7,842 שאלות. רמות קושי 1-5.
112
שאלות נוסחאות הכפל המקוצר במאגר
עודכן: אוגוסט 2026
נוסחאות הכפל המקוצר בפסיכומטרי - מה זה כולל
נוסחאות הכפל המקוצר הן שלושה זיהויים אלגבריים שחוזרים כמעט בכל שאלה שבה מופיע ביטוי בריבוע או מכפלה של סכום והפרש: ריבוע סכום, ריבוע הפרש והפרש ריבועים. במאגר שלנו יש 112 שאלות בנושא נוסחאות הכפל המקוצר מתוך מאגר כמותי של 7,842 שאלות, וב-12 השאלות שבעמוד הזה אפשר לראות דוגמה מייצגת לכל אחת מהנוסחאות, גם בכיוון הפיתוח וגם בכיוון הפירוק לגורמים.
ברמות הקושי הנמוכות (1-2) מדובר בעיקר בפיתוח ישיר של ביטוי כמו (x+3)² או (x-4)², ובפירוק ביטוי ריבועי כמו x²-9 חזרה לגורמים. שאלות כאלה נפתרות בהצבה ישירה בנוסחה המתאימה, בלי שלב נוסף.
ברמות הגבוהות יותר (3-5) הנוסחאות משמשות בעיקר ככלי עזר לחישוב מהיר - כמו חישוב 101² או 998² בלי מחשבון, מציאת a²-b² כשנתונים רק a+b ו-a-b, או פתרון בעיה שבה נתונים a-b ו-a²+b² ומבקשים למצוא את a+b. אלה השאלות שבהן היכרות עם שלוש הנוסחאות בעל פה חוסכת זמן יקר בפרק הכמותי.
12 שאלות נוסחאות הכפל המקוצר עם פתרונות מלאים
שאלה 1נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 1/5
לאחר פיתוח, (x+3)² = ?
- א. x²+9
- ב. x²+6x+9
- ג. x²+3x+9
- ד. x²-6x+9
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. לפי נוסחת ריבוע סכום (a+b)² = a²+2ab+b², עם a=x, b=3: x²+2·x·3+3² = x²+6x+9.
שאלה 2נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 1/5
לאחר פיתוח, (x-4)² = ?
- א. x²-4x+16
- ב. x²+8x+16
- ג. x²-8x+16
- ד. x²-16
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. לפי נוסחת ריבוע הפרש (a-b)² = a²-2ab+b², עם a=x, b=4: x²-2·x·4+4² = x²-8x+16.
שאלה 3נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 1/5
לאחר פיתוח, (x+2)(x-2) = ?
- א. x²-4
- ב. x²+4
- ג. x²+4x-4
- ד. x²-2x-4
הצג פתרון
התשובה הנכונה: א. זהו הפרש ריבועים: (a+b)(a-b) = a²-b², עם a=x, b=2: x²-2² = x²-4. שימו לב שאין כלל איבר אמצעי עם x.
שאלה 4נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 2/5
כמה שווה 101² - 99²?
- א. 200
- ב. 4
- ג. 400
- ד. 800
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. לפי הפרש ריבועים a²-b² = (a-b)(a+b): 101² - 99² = (101-99)(101+99) = 2 × 200 = 400.
שאלה 5נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 2/5
פרקו לגורמים: x² - 9
- א. (x-3)²
- ב. (x-3)(x+3)
- ג. (x+3)²
- ד. (x-9)(x+1)
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. זהו פירוק לפי הפרש ריבועים בכיוון ההפוך, a²-b² = (a-b)(a+b). כאן x² - 9 = x² - 3² = (x-3)(x+3).
שאלה 6נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 2/5
פרקו לגורמים: x² + 6x + 9
- א. (x+9)(x+1)
- ב. (x-3)²
- ג. (x+3)²
- ד. (x+3)(x-3)
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. זהו פירוק לפי ריבוע סכום בכיוון ההפוך, a²+2ab+b² = (a+b)². האיבר האמצעי 6x = 2·x·3 מזהה b=3: x²+6x+9 = (x+3)².
שאלה 7נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 3/5
חשבו בעזרת נוסחת הכפל המקוצר: 52² = ?
- א. 2504
- ב. 2704
- ג. 2604
- ד. 2804
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. מציגים 52 = 50+2 ומפעילים ריבוע סכום (a+b)² = a²+2ab+b²: 50²+2·50·2+2² = 2500+200+4 = 2704.
שאלה 8נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 3/5
נתון a+b=7 ו-a-b=3. כמה שווה a²-b²?
- א. 9
- ב. 10
- ג. 21
- ד. 49
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. לפי הפרש ריבועים a²-b² = (a+b)(a-b), בלי צורך לחשב את a ואת b בנפרד: a²-b² = 7 × 3 = 21.
שאלה 9נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 3/5
פשטו את הביטוי: (x+5)² - (x-5)² = ?
- א. 10x
- ב. 50
- ג. 20x+50
- ד. 20x
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ד. זהו הפרש ריבועים על שני ביטויים שלמים, A²-B² = (A+B)(A-B), עם A=x+5, B=x-5: [(x+5)+(x-5)]·[(x+5)-(x-5)] = 2x · 10 = 20x.
שאלה 10נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 4/5
נתון x + 1/x = 5. כמה שווה x² + 1/x²?
- א. 27
- ב. 23
- ג. 25
- ד. 21
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. מעלים בריבוע לפי נוסחת ריבוע סכום: (x+1/x)² = x²+2·x·(1/x)+1/x² = x²+2+1/x². מציבים 5² = 25: 25 = x²+1/x²+2 ⇒ x²+1/x² = 23.
שאלה 11נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 4/5
חשבו בעזרת נוסחת הכפל המקוצר: 998² = ?
- א. 1,000,004
- ב. 998,004
- ג. 996,004
- ד. 1,004,004
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. מציגים 998 = 1000-2 ומפעילים ריבוע הפרש (a-b)² = a²-2ab+b²: 1000²-2·1000·2+2² = 1,000,000-4,000+4 = 996,004.
שאלה 12נוסחאות הכפל המקוצר · רמה 5/5
נתון a-b=4 ו-a²+b²=40, כאשר a>b>0. כמה שווה a+b?
- א. 4
- ב. 8
- ג. 6
- ד. 12
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. לפי ריבוע הפרש (a-b)² = a²-2ab+b²: 4² = 40-2ab ⇒ 16 = 40-2ab ⇒ ab = 12. עכשיו לפי ריבוע סכום (a+b)² = a²+2ab+b²: (a+b)² = 40+24 = 64 ⇒ a+b = 8.
איך ניגשים לשאלת נוסחאות הכפל המקוצר
- זהו את שלוש הנוסחאות הבסיסיות בעל פה: ריבוע סכום, ריבוע הפרש והפרש ריבועים - הן חוזרות שוב ושוב הן בכיוון הפיתוח והן בכיוון הפירוק לגורמים.
- בריבוע סכום ובריבוע הפרש אל תשכחו את האיבר האמצעי (2ab) - השגיאה הנפוצה ביותר היא לכתוב a²+b² בלבד ולדלג עליו.
- בהפרש ריבועים תמיד יש רק שני איברים בתוצאה (a²-b²), בלי איבר אמצעי בכלל - אם מופיע איבר עם x באמצע, כנראה טעיתם וזו לא הנוסחה הזו.
- לחישוב מהיר של מספרים כמו 101² או 998², פרקו את המספר לסכום או הפרש נוח (100+1, 1000-2) והפעילו את נוסחת ריבוע הסכום או ההפרש במקום לכפול בעמוד.
- כשנתונים a+b ו-a-b (או להפך), אפשר להגיע ישר ל-a²-b² בלי לפתור את a ואת b בנפרד - פשוט מכפילים את שני הביטויים הנתונים זה בזה.
מה הלאה - מתרגול בדף לתרגול אינטראקטיבי
הפתרונות בדף הזה טובים ללמידה ראשונה, אבל את הביטחון בונים בתרגול עם משוב: בעמוד התרגול האינטראקטיבי מחכות כל 112 שאלות נוסחאות הכפל המקוצר שבמאגר, עם בדיקה מיידית, הסבר לכל שאלה ומעקב טעויות אישי. אפשר גם לחזור על התיאוריה של אלגברה ונוסחאות הכפל המקוצר לפני שמתחילים, או לקפוץ ישר לסימולציה מלאה בתנאי אמת.
שאלות נפוצות
כמה שאלות נוסחאות הכפל המקוצר יש בפסיכומטרי?
במאגר שלנו יש 112 שאלות בנושא נוסחאות הכפל המקוצר לתרגול, בכל רמות הקושי. במבחן האמיתי מספר השאלות בנושא משתנה בין מועדים ותלוי בהרכב הפרק הכמותי הספציפי שיצא לכם.
מה ההבדל בין ריבוע סכום לריבוע הפרש?
בריבוע סכום (a+b)² התוצאה היא a²+2ab+b², עם סימן פלוס לפני האיבר האמצעי. בריבוע הפרש (a-b)² התוצאה היא a²-2ab+b² - הסימן היחיד שמשתנה הוא לפני האיבר האמצעי, ושני האיברים הקיצוניים a² ו-b² נשארים תמיד עם סימן פלוס.
איך משתמשים בהפרש ריבועים כדי לחשב מספרים גדולים בראש?
מפרקים כל מספר כזה לסכום או הפרש נוח (למשל 998 כ-1000-2), ואז מפעילים את נוסחת ריבוע ההפרש a²-2ab+b² במקום לכפול את המספר המלא בעצמו. באותו אופן אפשר לחשב הפרש בין שני ריבועים כמו 101²-99² ישירות לפי (a-b)(a+b), בלי לחשב כל ריבוע בנפרד.
איך פותרים שאלה שבה נתונים a-b ו-a²+b² ומבקשים למצוא את a+b?
מציבים את a-b בנוסחת ריבוע ההפרש כדי לבודד את ab, ואז מציבים את ab שהתקבל בנוסחת ריבוע הסכום יחד עם a²+b² הנתון, ומוציאים שורש כדי לקבל את a+b.