الدائرة من أكثر أشكال الهندسة حضورًا في الفصل الكمّي في امتحان البسيخومتري، ومن أقلّها احتياجًا إلى الحفظ: قوانينها الأساسيّة تُعطى لك مطبوعة في صفحة القوانين في مطلع كلّ فصل كمّي. الصعوبة الحقيقيّة ليست في القانون بل في ثلاثة أشياء: أن تعرف أيّ مقدار طُلب منك، أن تنتبه إلى أنّ المعطى قد يكون القطر لا نصف القطر، وأن تُنجز ذلك في نحو دقيقة واحدة. هذا الدرس يفكّك الموضوع من المفهوم إلى القوانين إلى ثلاثة أمثلة محلولة متدرّجة.
المفهوم: من ماذا تتكوّن الدائرة
الدائرة هي مجموعة كلّ النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن نقطة ثابتة تُسمّى المركز. هذا التعريف بسيط لكنّه المفتاح العمليّ لأغلب الأسئلة: كلّ نقطتين على الدائرة تبعدان عن المركز البُعد نفسه، ولذلك كلّ مثلّث رأسه في المركز وضلعاه نصفا قطر هو مثلّث متساوي الساقين - ومن هنا تُحَلّ مسائل الأوتار والزوايا.
وحين تحتاج إلى التمييز بين الخطّ المنحني نفسه وبين المنطقة المحصورة داخله، يُقال الدائرة للخطّ والقرص الدائري للمنطقة. في صياغة الأسئلة يكفي عادةً مصطلح «دائرة»، والسياق يوضّح المقصود: «محيط الدائرة» يخصّ الخطّ، و«مساحة الدائرة» تخصّ المنطقة.
| المصطلح | ما هو | ما يجب الانتباه إليه |
|---|---|---|
| نصف القطر (r) | قطعة تصل بين المركز ونقطة على الدائرة | هو المقدار الذي تدور حوله كلّ القوانين. إن لم يكن معطًى، فاستخرجه أوّلًا |
| القطر (d) | وتر يمرّ بالمركز: d = 2r | أطول وتر في الدائرة. المعطى «قطرها 14» يعني r = 7 لا r = 14 |
| الوتر | قطعة تصل بين نقطتين على الدائرة | العمود النازل من المركز على الوتر ينصّفه، ويصنع مثلّثًا قائم الزاوية |
| القوس | جزء من محيط الدائرة محصور بين نقطتين | يُقاس بالطول (وحدات) أو بالزاوية المركزية المقابلة له (درجات) - لا تخلط بينهما |
| القطاع الدائري | «شريحة» محصورة بين نصفَي قطر والقوس بينهما | نسبته من الدائرة كاملة هي x/360 |
| المماسّ | مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة | عموديّ على نصف القطر عند نقطة التماسّ - أي أنّه يصنع زاوية قائمة جاهزة |
| الحلقة | المنطقة بين دائرتين متّحدتَي المركز | مساحتها = مساحة الكبرى ناقص مساحة الصغرى |
ويظهر في أسئلة الامتحان تركيبان لفظيّان يستحقّان الانتباه: شكل مرسوم داخل دائرة (رؤوسه كلّها على الدائرة)، ودائرة محيطة بشكل (تمرّ برؤوسه). الصياغتان تصفان الوضع نفسه من جهتين، وفي كلتيهما نصف قطر الدائرة هو الجسر بين معطيات الشكل ومعطيات الدائرة.
القوانين: ثلاثة تُعطى لك واثنتان تُحفظان
في صفحة القوانين الرسميّة المرفقة في مطلع كلّ فصل كمّي يظهر بند خاصّ بالدائرة، وهو يشمل ثلاثة قوانين فقط:
| المقدار | القانون | ملاحظة |
|---|---|---|
| مساحة الدائرة | S = πr² | تتناسب مع مربّع نصف القطر |
| محيط الدائرة | P = 2πr = πd | يتناسب مع نصف القطر تناسبًا طرديًّا |
| مساحة القطاع الدائري | S = πr² · (x/360) | حيث x° هي زاوية رأس القطاع، أي الزاوية المركزية |
ما لا يظهر في صفحة القوانين، ويُستحسن جدًّا أن يكون جاهزًا في رأسك، هو الآتي:
| العلاقة | الصياغة | متى تُستعمَل |
|---|---|---|
| طول القوس | L = 2πr · (x/360) | الكسر نفسه المستعمَل في القطاع، لكن مضروبًا في المحيط بدل المساحة |
| الزاوية المركزية والمحيطية | قياس الزاوية المركزية = ضعف قياس الزاوية المحيطية | بشرط أن تكونا مرسومتين على القوس نفسه |
| الزاوية المرسومة على القطر | 90° | نتيجة مباشرة للعلاقة السابقة، لأنّ القطر يقابل 180° |
| العمود على الوتر | (a/2)² + m² = r² | حيث a طول الوتر وm بُعده عن المركز - فيثاغورس داخل الدائرة |
| نسب التكبير | P₁ : P₂ = r₁ : r₂ وS₁ : S₂ = r₁² : r₂² | أسئلة «بكم ضعفًا ازدادت المساحة» تُحَلّ من هنا مباشرةً بلا حساب |
لاحظ أنّ الرمز π يبقى رمزًا: أغلب إجابات الامتحان معطاة بدلالته (36π، 12π)، وتحويله إلى 3.14 يضيّع الوقت ويُدخل خطأ تقريب بلا فائدة. لا تُقرِّب إلّا إذا طلب السؤال قيمة عدديّة صراحةً.
ثلاثة أمثلة محلولة
مثال 1 · مستوى أساسيّ
محيط دائرة يساوي 16π. ما مساحتها؟
الحلّ: السؤال يعطيك المحيط ويطلب المساحة، والجسر بينهما هو r دائمًا. من 2πr = 16π نقسم الطرفين على 2π ونحصل على r = 8. ومنه المساحة S = πr² = π · 64 = 64π.
ما يجب أن تتعلّمه: لا تحاول القفز من المحيط إلى المساحة بقانون مباشر. الطريق الآمن في كلّ أسئلة الدائرة هو: المعطى → r → المطلوب. المشتّت المتوقّع هنا هو 256π، وهو ناتج تعويض القطر 16 في مكان نصف القطر.
مثال 2 · مستوى متوسّط
في دائرة نصف قطرها 12، قطاع دائري زاويته المركزية 45°. ما مساحة القطاع، وما طول قوسه؟
الحلّ: ابدأ بالكسر، لا بالقانون: 45/360 = 1/8، أي أنّ القطاع هو ثُمن الدائرة بالضبط.
مساحة الدائرة كاملة: π · 12² = 144π، ومنها مساحة القطاع 144π · (1/8) = 18π.
ومحيط الدائرة كاملة: 2π · 12 = 24π، ومنه طول القوس 24π · (1/8) = 3π.
ما يجب أن تتعلّمه: اختصار الكسر x/360 أوّلًا يحوّل السؤال إلى ضرب ذهنيّ. وانتبه إلى الوحدات: مساحة القطاع مساحة (تُقاس بوحدات مربّعة) وطول القوس طول - وهذا بالضبط ما يفصل بين الإجابة الصحيحة والمشتّت الذي يعطيك المقدار الآخر.
مثال 3 · مستوى مركّب
في دائرة مركزها O ونصف قطرها 10، النقطتان A وB على الدائرة. زاوية محيطية مرسومة على الوتر AB قياسها 45°. ما مساحة القطاع المحصور بالزاوية المركزية AOB؟
الحلّ: السؤال يبدو بعيدًا عن قانون القطاع، لكنّه في الواقع سؤال قطاع تنقصه الزاوية فقط.
الخطوة الأولى: الزاوية المحيطية والزاوية المركزية AOB مرسومتان على القوس AB نفسه، إذن قياس الزاوية AOB يساوي 2 × 45° = 90°.
الخطوة الثانية: الكسر هو 90/360 = 1/4، ومساحة الدائرة π · 10² = 100π، إذن مساحة القطاع 100π · (1/4) = 25π.
ما يجب أن تتعلّمه: الأسئلة الصعبة في هذا الموضوع نادرًا ما تكون قانونًا جديدًا؛ هي غالبًا سؤال أساسيّ حُجبت عنه قطعة واحدة، والعلاقة بين الزاويتين هي القطعة المحجوبة الأكثر شيوعًا. لو أخذتَ نصف الزاوية بدل ضعفها لحصلتَ على 6.25π - وهو مشتّت جاهز في الغالب.
أخطاء شائعة
- الخلط بين نصف القطر والقطر. رأس الأخطاء في هذا الموضوع بلا منافس. السؤال يعطي «دائرة قطرها 8» فتُعوّض 8 في مكان r فتصير المساحة أربعة أضعاف الصحيحة - والنتيجة الخاطئة موجودة بين الإجابات المقترحة بالضبط. العلاج: اكتب r = ... على الورقة قبل أيّ عمليّة، مهما بدا السؤال بسيطًا.
- قلب اتّجاه العلاقة بين الزاويتين. على القوس نفسه، المركزية هي ضعف المحيطية وليست نصفها. تذكّرها من الحالة الأوضح: زاوية محيطية على القطر قياسها 90°، والمركزية المقابلة للقطر 180°.
- تطبيق العلاقة على قوسين مختلفين. الشرط ليس مجرّد وجود زاويتين في دائرة واحدة، بل أن تكونا مرسومتين على القوس نفسه. حدِّد القوس بإصبعك على الرسم قبل أن تضرب في 2.
- افتراض أنّ المساحة تتضاعف مع نصف القطر. إذا ازداد نصف القطر ثلاثة أضعاف، فالمحيط يزداد ثلاثة أضعاف لكنّ المساحة تزداد تسعة أضعاف. النسبة بين المساحات هي دائمًا مربّع النسبة بين نصفَي القطر.
- الخلط بين طول القوس ومساحة القطاع. الكسر x/360 واحد في الحالتين، لكنّه يُضرب مرّةً في المحيط ومرّةً في المساحة. اقرأ السطر الأخير من السؤال قبل اختيار الإجابة.
- الاستنتاج من صورة الرسم. بحسب الملاحظات العامّة الرسميّة، الرسومات ليست بالضرورة مرسومة بمقياس رسم: لا تفترض أنّ الوتر يمرّ بالمركز، ولا أنّ قياس الزاوية قائم، لمجرّد أنّ الرسم يوحي بذلك.
- الحساب العدديّ لـπ بلا داعٍ. إذا كانت الإجابات معطاة بدلالة π، فكلّ ضرب في 3.14 هو وقت ضائع وفرصة خطأ إضافيّة.
استراتيجيات العمل
1. اجعل r محطّتك الأولى دائمًا
أيًّا كان المعطى - محيط، مساحة، قطر، وتر، ضلع مربّع مرسوم داخل الدائرة - استخرج منه نصف القطر أوّلًا واكتبه. كلّ قوانين الموضوع مبنيّة عليه، والسؤال الذي يبدو غريبًا يصبح روتينيًّا بمجرّد أن تعرف r.
2. القطاع = الدائرة كاملة × الكسر
لا تحفظ قانونين منفصلين للقوس والقطاع. احسب الدائرة كاملة (محيطًا أو مساحة) ثم اضربها في x/360. اختصر الكسر أوّلًا: 90/360 = 1/4، 60/360 = 1/6، 45/360 = 1/8 - هذه الكسور الثلاثة تغطّي أغلب ما يظهر.
3. في أسئلة النسب، لا تحسب أعدادًا
سؤال «النسبة بين مساحتي دائرتين هي 9:16، ما النسبة بين نصفَي القطر؟» لا يحتاج إلى أيّ حساب: خُذ الجذر التربيعيّ لكلّ طرف فتحصل على 3:4. وبالعكس، النسبة بين المحيطين هي نفسها النسبة بين نصفَي القطر. هذه العائلة كاملة تُحَلّ في عشر ثوانٍ إن عرفت القاعدة، وتستهلك دقيقتين إن حاولت إيجاد الأنصاف فعليًّا.
4. ابحث عن المثلّث القائم المخبّأ
كلّما ظهر وتر، أنزِل العمود من المركز عليه: يظهر مثلّث قائم الزاوية وتره r وأحد ضلعيه القائمين نصف الوتر، فتُغلق المسألة بفيثاغورس. وكلّما ظهر مماسّ، تذكّر أنّه عموديّ على نصف القطر عند نقطة التماسّ - وهذه زاوية قائمة معطاة مجّانًا.
5. في المساحات المركّبة، اطرح
مساحة الحلقة، أو المساحة داخل مربّع خارج ربع دائرة، أو ما بين شكلين متداخلين - كلّها تُحَلّ بمبدأ واحد: احسب المساحة الكبرى، واطرح منها المساحة المحسوبة زيادةً. ارسم الشكل وظلّل المطلوب فعلًا قبل أن تكتب أيّ قانون.
من الدرس إلى التدريب
الدوائر من المواضيع التي يتحسّن فيها الأداء بسرعة، لأنّ عدد الأنماط فيها محدود: استخراج r، القطاع والقوس، الزوايا، الأوتار، النسب، والمساحات المركّبة. بعد جولتين أو ثلاث تصبح تتعرّف على النمط من السطر الأوّل.
في صفحة التدريب بالعربية 113 سؤالًا في موضوع الدوائر، مصنّفة بمستويات صعوبة متدرّجة، وكلّ سؤال مرفق بشرح كامل يبيّن أيضًا مصدر الخطأ في كلّ إجابة أخرى - وهو الجزء الذي يمنع تكرار الخطأ نفسه.
ابدأ التدريب على الدوائر ← جرّب محاكاة كاملة بالوقت
وحين تستقرّ نتائجك في الموضوع، انتقل إلى العمل تحت ضغط الوقت في محاكاة الامتحان الكاملة، أو راجع الصورة الشاملة للفصل في دليل التفكير الكمّي. ولمن يفضّل مراجعة الموضوع نفسه بالعبرية، الصفحة الموازية هي درس المعادل بالعبرية: מעגלים בפסיכומטרי.