القوى والأسس من أكثر المواضيع مردودًا في الفصل الكمّي في امتحان البسيخومتري: مادّتها قليلة، وقوانينها ثمانية لا أكثر، ومعظم أسئلتها يُحَلّ في نصف دقيقة إذا عرفت أيّ قانون تستدعي. الصعوبة الحقيقيّة ليست في الحساب بل في نوعين من الأسئلة: سؤال يطلب منك مقارنة قوّتين تبدوان بعيدتين تمامًا عن بعضهما، وسؤال يستدرجك إلى تطبيق قانون على الجمع بينما القوانين لا تعمل إلّا على الضرب والقسمة. هذا الدرس يعالج الاثنين.
المفهوم: القوّة اختصار لضرب متكرّر
كتابة a^n تعني ببساطة ضرب العدد a في نفسه n مرّة. العدد a يُسمّى الأساس، والعدد n يُسمّى الأسّ (وتُسمّى العمليّة كلّها قوّة). مثلًا:
10^4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10,000
3^4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
كلّ قانون في هذا الدرس ليس قاعدة تُحفَظ اعتباطًا، بل نتيجة مباشرة لهذا التعريف. مثال: 2^3 · 2^2 هو (2·2·2) · (2·2)، أي خمسة عوامل من 2، أي 2^5 = 32. من هنا جاء قانون جمع الأسس - ومن هنا أيضًا يتّضح لماذا لا ينطبق شيء من هذا على 2^3 + 2^2، فالجمع ليس ضربًا متكرّرًا.
حالتان خاصّتان تستحقّان الحفظ لأنّهما تظهران كثيرًا كمشتتات: أيّ عدد مرفوع للقوّة صفر يساوي واحدًا، لا صفرًا (a^0 = 1, a ≠ 0)؛ وأيّ عدد مرفوع للقوّة واحد يساوي نفسه (a^1 = a).
قوانين الأسس
هذه هي القوانين الثمانية التي يغطّي تطبيقها كلّ ما قد يُطلب منك في الامتحان. أربعة منها معطاة لك حرفيًّا في صفحة القوانين المرفقة بمطلع كلّ فصل كمّي (البند الثاني: «القوى»)، والباقي نتائج مباشرة لها:
| القانون | الصيغة | مثال |
|---|---|---|
| ضرب قوّتين لهما الأساس نفسه | a^m · a^n = a^(m+n) | 2^3 · 2^2 = 2^5 = 32 |
| قسمة قوّتين لهما الأساس نفسه | a^m / a^n = a^(m-n) | 8^3 / 8^2 = 8^1 = 8 |
| قوّة القوّة | (a^m)^n = a^(m·n) | (10^2)^3 = 10^6 |
| قوّة حاصل ضرب | (a·b)^n = a^n · b^n | (2·5)^3 = 10^3 = 1000 |
| قوّة حاصل قسمة | (a/b)^n = a^n / b^n | (6/2)^2 = 36/4 = 9 |
| الأسّ صفر | a^0 = 1 (a ≠ 0) | 7^0 = 1 |
| الأسّ السالب | a^(-n) = 1 / a^n | 2^(-3) = 1/8 |
| الأسّ الكسريّ | a^(m/n) = ⁿ√(a^m) | 9^(1/2) = 3 |
القانونان الرابع والخامس هما الأقلّ استعمالًا في الاتّجاه المعتاد والأكثر فائدة في الاتّجاه المعاكس: حين ترى 5^2 · 2^2، لا تحسب 25 ثمّ 4 ثمّ تضرب - بل اجمعهما في (5·2)^2 = 10^2 = 100. هذه العادة وحدها توفّر عليك عشرات الثواني في الفصل.
وحين تجتمع عدّة قوانين في تعبير واحد، طبّقها بالترتيب من الخارج إلى الداخل. مثال نموذجيّ:
لاحظ أنّ المعامل 2 يُرفَع هو أيضًا للقوّة - نسيانه ينتج 2a^4b^6، وهي إجابة موجودة بين المشتتات بالضبط.
مقارنة القوى: وحّد الأساس أو وحّد الأسّ
أسئلة المقارنة هي القلب الحقيقيّ للموضوع في البسيخومتري، والقاعدة الذهبيّة فيها: لا تحسب القيم. الحساب الكامل لـ 4^10 ممكن نظريًّا ومستحيل عمليًّا في دقيقة. بدلًا منه، وحّد أحد العنصرين:
1. الأساس متساوٍ - الأسّ هو الفيصل
إذا كان الأساس نفسه وكان أكبر من واحد، فالقوّة ذات الأسّ الأكبر هي الأكبر. مثال: 7^5 > 7^4، و 10^3 > 10^2. (شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد - وهذا هو حال أسئلة الامتحان في هذا الموضوع.)
2. الأسّ متساوٍ - الأساس هو الفيصل
إذا كان الأسّ نفسه وكان الأساسان موجبين، فالأساس الأكبر يعطي القوّة الأكبر. مثال: 4^6 > 3^6.
3. لا هذا ولا ذاك - ردّهما إلى أساس مشترك
هنا يبدأ العمل الحقيقيّ. معظم الأساسات التي يستعملها الامتحان قوى لعدد صغير: 4 و8 و16 و32 و64 كلّها قوى للعدد 2؛ و9 و27 و81 قوى للعدد 3؛ و49 قوّة للعدد 7. أعد كتابة الطرفين بالأساس المشترك ثمّ قارن الأسّين:
49^3 = (7^2)^3 = 7^6 > 7^5
9^7 = (3^2)^7 = 3^14 < 3^15
هذه هي الحيلة الوحيدة التي تحتاجها في معظم أسئلة المقارنة. وإذا تعذّر توحيد الأساس، جرّب توحيد الأسّ: 2^20 = (2^2)^10 = 4^10.
4. متى تكون الإجابة «لا يمكن التحديد»
حين يكون السؤال بالحروف وليس بالأعداد، احذر من الاستنتاج المتسرّع. مثال: معلوم أنّ 1 < a < b وأنّ m < n عددان صحيحان موجبان - أيّهما أكبر، a^n أم b^m؟ الأساس الأصغر مرفوع لأسّ أكبر، والأساس الأكبر مرفوع لأسّ أصغر، فالعاملان يتعارضان. طريقة الحسم هي تعويض الأعداد مرّتين: مع a=2, b=3, m=1, n=10 نحصل على 2^10 = 1024 > 3؛ ومع a=2, b=100, m=1, n=2 نحصل على 4 < 100. مجموعتان تعطيان نتيجتين متعاكستين، إذن الإجابة: لا يمكن التحديد.
جدول القوى الصغيرة - احفظه
معرفة هذه القيم عن ظهر قلب تختصر لك خطوة كاملة في كلّ سؤال مقارنة تقريبًا:
| الأساس | القوى |
|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 |
| 3 | 3, 9, 27, 81, 243, 729 |
| 5 | 5, 25, 125, 625 |
| مربّعات | 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 |
ثلاثة أمثلة محلولة
كم يساوي 5^2 · 2^2؟
الطريق البطيء: 25 · 4 = 100. الطريق المقصود: الأسّ متساوٍ في الطرفين، فاستعمل قانون قوّة حاصل الضرب بالاتّجاه المعاكس:
لماذا يستحقّ هذا التمييز؟ لأنّ السؤال نفسه بأعداد أكبر - مثل 25^4 · 4^4 - يصبح مستحيلًا بالطريق الأوّل وسهلًا بالثاني: (25·4)^4 = 100^4.
الإجابة: 100.
أيّهما أكبر: 4^10 أم 8^7؟
لا الأساس متساوٍ ولا الأسّ. لكنّ 4 و8 كليهما قوّة للعدد 2، وهذا هو الأساس المشترك:
8^7 = (2^3)^7 = 2^21
الآن الأساس واحد، فالأسّ هو الفيصل: 2^21 > 2^20.
الإجابة: 8^7 أكبر. انتبه إلى المصيدة: الأسّ 10 أكبر من الأسّ 7، ومن يقارن الأسس وحدها يختار الإجابة الخاطئة. المقارنة لا تصحّ إلّا بعد توحيد الأساس.
إذا كان 5^(x+1) = 125، فكم تساوي x؟
هنا المجهول في الأسّ، والمعادلة تبدو من نوع آخر تمامًا - لكنّها المهارة نفسها: وحّد الأساس. الطرف الأيسر أساسه 5، فأعد كتابة الطرف الأيمن بالأساس 5:
5^(x+1) = 5^3
حين تتساوى قوّتان لهما الأساس نفسه (والأساس مختلف عن 1 و0)، يتساوى الأسّان بالضرورة:
الإجابة: x = 2. القاعدة العامّة: أيّ معادلة أُسّيّة في البسيخومتري تُحَلّ بردّ الطرفين إلى أساس مشترك ثمّ مساواة الأسّين. والمبدأ نفسه يحلّ a^3 · a^x = a^7: بجمع الأسس نحصل على 3 + x = 7، ومنه x = 4.
أخطاء شائعة
- تطبيق قوانين الأسس على الجمع. الخطأ الأوّل بلا منازع: 2^2 + 3^2 ليس 5^2. القيمة الصحيحة هي 4 + 9 = 13، بينما 5^2 = 25. القوانين تعمل على الضرب والقسمة فقط - عند الجمع والطرح احسب كلّ حدّ على حدة.
- (a+b)^2 ليس a^2 + b^2. الصيغة الصحيحة معطاة لك في بند الضرب المختصر في صفحة القوانين الرسميّة: (a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2. الحدّ الأوسط 2ab هو ما يُنسى، وهو موجود دائمًا بين المشتتات.
- الخلط بين جمع الأسس وضربها. 2^3 · 2^2 = 2^5 = 32 (جمع)، بينما (2^3)^2 = 2^6 = 64 (ضرب). اسأل نفسك دائمًا: قوّتان مضروبتان، أم قوّة مرفوعة لقوّة؟
- مقارنة الأسس وحدها. 4^10 ليس أكبر من 8^7 لمجرّد أنّ 10 أكبر من 7. لا معنى لمقارنة أسس فوق أساسات مختلفة.
- نسيان رفع المعامل. في (2a^2)^3 يُرفَع العدد 2 أيضًا: النتيجة 8a^6 لا 2a^6.
- الظنّ أنّ a^0 = 0. أيّ عدد مختلف عن الصفر مرفوع للقوّة صفر يساوي 1.
- إهمال الأقواس مع الأساس السالب. (-2)^4 = 16 لأنّ الأسّ زوجيّ، بينما -2^4 = -16 لأنّ القوّة تسبق إشارة السالب. اقرأ الأقواس قبل أن تحسب.
استراتيجيات للامتحان
1. اسأل أوّلًا: ما المشترك بين الطرفين؟
قبل أيّ حساب، ابحث عن الأساس المشترك أو الأسّ المشترك. هذا السؤال وحده يحلّ أغلب أسئلة الموضوع، ويحوّل مقارنة تبدو مستحيلة إلى مقارنة بين عددين صغيرين.
2. عوّض أعدادًا في الأسئلة بالحروف
حين يكون السؤال كلّه حروفًا، اختر أعدادًا صغيرة تحقّق شروطه واحسب. وتجنّب 0 و1 لأنّهما يجعلان تعابير مختلفة تتساوى صدفةً. وإذا كان بين الإجابات «لا يمكن التحديد»، جرّب مجموعتين مختلفتين من الأعداد قبل أن تستبعدها - كما في المثال أعلاه.
3. لا تحسب ما لا يُطلب منك
السؤال يسأل «أيّهما أكبر» لا «كم يساوي». إذا وجدت نفسك تحسب 3^14 رقمًا رقمًا فقد ضللت الطريق - عُد وابحث عن التحويل.
4. احفظ قوى 2 حتّى 1024
قوى العدد 2 تحديدًا هي عملة الموضوع: كلّ من 4 و8 و16 و32 و64 و128 و256 و512 و1024 هو قوّة للعدد 2، ومعرفة ذلك فورًا تختصر الخطوة الأولى في كلّ سؤال مقارنة تقريبًا.
5. لا تترك سؤالًا فارغًا
بحسب فصل حساب العلامات في امتحانات التمرّن الرسميّة، كلّ إجابة صحيحة تمنحك نقطة والعلامة الخام هي مجموعها؛ أي أنّ السؤال المتروك والسؤال المُجاب عنه خطأً يمنحانك القيمة نفسها: صفر. في أسئلة القوى تحديدًا يسهل شطب إجابتين بالتقدير السريع (رتبة الحجم، أو كون النتيجة زوجيّة) - وبعد الشطب يصبح التخمين رابحًا.
تدرّب الآن
القوانين تُفهَم في عشر دقائق وتُتقَن بالتكرار وحده. في تدريب القوى والأسس بالعربية ينتظرك 198 سؤالًا - 98 سؤالًا في حساب القوى و100 سؤالًا في المقارنة - وكلّ سؤال مرفق بشرح كامل يبيّن لك الطريق القصير لا الحساب الطويل. ثمّ اختبر الموضوع تحت ضغط الوقت في محاكاة البسيخومتري الكاملة بفصولها الموقوتة كما في الامتحان الحقيقيّ.
ولمعرفة أين يقع هذا الموضوع داخل الفصل، وما الذي يُعطى لك في صفحة القوانين وما الذي عليك حفظه، راجع دليل التفكير الكمّي الكامل. ولمن يفضّل المتابعة بالعبرية، الصفحة الموازية على الموقع العبري هي صفحة القوى والجذور.