المتباينات من أكثر المواضيع ربحًا في الفصل الكمّي في امتحان البسيخومتري: قواعدها قليلة ومعدودة، والسؤال فيها يُحَلّ عادةً في أقلّ من دقيقة، لكنّ نسبة الأخطاء فيها مرتفعة بشكل غير متناسب - وسببها غالبًا خطوة واحدة منسيّة، لا صعوبة رياضيّة. هذا الدرس يفكّك الموضوع من المفهوم إلى القوانين إلى ثلاثة أمثلة محلولة متدرّجة، وينتهي بتدريب مباشر على أسئلة بمستوى الامتحان.
المفهوم: ما هي المتباينة؟
المعادلة تقول إنّ طرفين متساويان؛ أمّا المتباينة فتقول إنّ أحد الطرفين أكبر من الآخر أو أصغر منه. ولهذا الفارق نتيجة مباشرة: حلّ المعادلة 2x = 8 هو عدد واحد فقط (x = 4)، بينما حلّ المتباينة 2x > 8 هو مجموعة أعداد كاملة: كلّ عدد أكبر من 4، أي مجال على خطّ الأعداد.
هذه هي الإشارات الأربع التي ستراها في الامتحان:
| الإشارة | القراءة | مثال | هل تشمل قيمة الحدّ؟ |
|---|---|---|---|
| > | أكبر من | x > 4 | لا - العدد 4 نفسه ليس حلًّا |
| < | أصغر من | x < 4 | لا |
| ≥ | أكبر من أو يساوي | x ≥ 4 | نعم - العدد 4 نفسه حلّ |
| ≤ | أصغر من أو يساوي | x ≤ 4 | نعم |
الإشارتان الأوليان تُسمّيان صارمتين، والأخريان غير صارمتين. التمييز بينهما ليس تفصيلًا شكليًّا: في أسئلة كثيرة يكون الفارق بين إجابتين مقترحتين هو هذا بالضبط - x < 9 مقابل x ≤ 9.
ومن المفيد أن تتذكّر أنّ لغة المسائل الكلاميّة تُترجَم مباشرة إلى هذه الإشارات: «على الأقلّ» و«لا يقلّ عن» تعنيان ≥، و«على الأكثر» و«لا يزيد عن» تعنيان ≤، أمّا «أكبر تمامًا» فتعني >.
القوانين: ماذا يجوز أن تفعل بالمتباينة
كلّ ما تفعله بمعادلة يجوز أن تفعله بمتباينة، بشرط أن تفعله بالطرفين معًا. الجدول التالي يلخّص أثر كلّ عمليّة على اتجاه الإشارة:
| العمليّة | مثال | الاتجاه |
|---|---|---|
| جمع عدد إلى الطرفين أو طرحه منهما | x - 3 < 5 → x < 8 | لا يتغيّر |
| نقل حدّ من طرف إلى آخر | 3x > x + 6 → 2x > 6 | لا يتغيّر |
| الضرب أو القسمة على عدد موجب | 3x > 12 → x > 4 | لا يتغيّر |
| الضرب أو القسمة على عدد سالب | -2x > 8 → x < -4 | ينقلب |
| تبديل الطرفين | 5 < x → x > 5 | ينقلب |
| أخذ المقلوب لعددين موجبين | 0 < 2 < 5 → 1/2 > 1/5 | ينقلب |
| جمع متباينتين لهما الاتجاه نفسه | a < b, c < d → a+c < b+d | لا يتغيّر |
لاحظ السطر الأخير وما لا يظهر فيه: جمع متباينتين لهما الاتجاه نفسه مسموح، أمّا طرح متباينة من أخرى فغير مسموح ويقود إلى نتائج خاطئة. وكذلك ضرب متباينتين لا يجوز إلّا إذا كانت جميع الأطراف موجبة.
القاعدة المركزيّة: انقلاب الإشارة
عند ضرب طرفَي المتباينة أو قسمتهما على عدد سالب، ينقلب اتجاه الإشارة: > تصبح <، و≤ تصبح ≥.
لماذا؟ لأنّ الضرب في عدد سالب يقلب موقع العددين على خطّ الأعداد. انظر إلى مثال عدديّ محض: نعلم أنّ 2 < 5. اضرب الطرفين في -1 فتحصل على -2 و-5. وهل -2 < -5؟ بالطبع لا: -2 > -5. الإشارة انقلبت، وهذا ليس استثناءً بل قاعدة تسري في كلّ مرّة.
حيلة عمليّة لمن ينسى القاعدة تحت ضغط الوقت: تجنّب القسمة على السالب أصلًا. انقل حدود المجهول إلى الطرف الذي يبقي معاملها موجبًا. بدل أن تحلّ 3x - 2 > 5x + 6 بنقل كلّ شيء إلى اليسار والوصول إلى -2x > 8، انقل الحدود في الاتجاه المعاكس: -8 > 2x، ومنه 2x < -8 وx < -4 - بلا أيّ قسمة على عدد سالب.
سلسلة المتباينات
كثيرًا ما يُعطى شرطان على المجهول نفسه، والمطلوب هو تقاطعهما: مجموعة الأعداد التي تحقّق الشرطين معًا. إذا كان x > 2 وx ≤ 7، فالحلّ يُكتب في سلسلة واحدة: 2 < x ≤ 7. اقرأها كما تُكتب: x أكبر من 2 ولا يتجاوز 7.
قاعدتان تتعلّقان بالسلاسل:
- الاتجاه موحّد. السلسلة تُكتب دائمًا بإشارات في الاتجاه نفسه: 2 < x ≤ 7 صحيحة، أمّا خلط اتجاهين في سلسلة واحدة فبلا معنى.
- الخاصّية المتعدّية. إذا كان a < b وb < c فبالضرورة a < c. هذه هي الأداة التي تُحَلّ بها أسئلة ترتيب ثلاثة مقادير أو أربعة.
- أيّ عمليّة تُطبَّق على الأطراف الثلاثة. من 2 < x < 7، عند الطرح 2 نحصل على 0 < x - 2 < 5 - لا على طرف واحد فقط.
التعويض بقيم: أداة الفحص السريعة
المتباينة تمنحك ميزة لا تمنحها المعادلة: يمكنك فحص إجابتك في ثوانٍ. خذ عددًا واحدًا من داخل المجال الذي حصلت عليه وعوّضه في المتباينة الأصليّة - يجب أن تتحقّق؛ ثم خذ عددًا من خارج المجال - يجب ألّا تتحقّق.
مثال: حصلت على الحلّ x < -4 للمتباينة -2x > 8. عوّض x = -5: يصبح الطرف الأيسر -2 · (-5) = 10، و10 > 8 - تحقّقت. الآن عوّض x = 0: نحصل على 0 > 8 - لم تتحقّق، كما هو متوقّع. الفحصان معًا يستغرقان عشر ثوانٍ ويكشفان أيّ انقلاب إشارة منسيّ.
ثلاثة أمثلة محلولة
حُلّ المتباينة: x/2 - 1 > 3
- نضيف 1 إلى الطرفين. الجمع لا يغيّر الاتجاه: x/2 > 4.
- نضرب الطرفين في 2. العدد 2 موجب، إذن الاتجاه يبقى كما هو: x > 8.
- فحص بالتعويض: x = 10 يعطي 10/2 - 1 = 4، و4 > 3 ✔. أمّا x = 6 فيعطي 2، وهو ليس أكبر من 3 ✘.
الحلّ: x > 8. المشتّت المتوقَّع: x > 4 - وهو ناتج نسيان الضرب في 2 في الخطوة الثانية.
حُلّ المتباينة: 3x - 2 > 5x + 6
- نجمع حدود المجهول في طرف والأعداد في الطرف الآخر: 3x - 5x > 6 + 2، أي -2x > 8. النقل جمع وطرح فقط، ولذلك لم ينقلب الاتجاه حتّى الآن.
- نقسم الطرفين على -2. القسمة على عدد سالب، إذن الاتجاه ينقلب: x < -4.
- فحص: x = -5 يعطي 3 · (-5) - 2 = -17 في الطرف الأيسر و5 · (-5) + 6 = -19 في الأيمن، و-17 > -19 ✔. أمّا x = 0 فيعطي -2 > 6 ✘.
الحلّ: x < -4. الطريق البديل الذي يتجنّب السالب: انقل في الاتجاه المعاكس فتحصل على -8 > 2x، ومنه x < -4 بلا انقلاب إشارة إطلاقًا.
حُلّ المتباينة: (x - 2)(x + 3) < 0
- المطلوب هو متى يكون حاصل الضرب سالبًا. حاصل ضرب عاملين يكون سالبًا حين تكون إشارتاهما متعاكستين.
- نجد جذرَي التعبير، أي القيمتين اللتين يصفر عندهما كلّ عامل: x = 2 وx = -3.
- معامل x² هنا موجب، ولذلك يكون التعبير سالبًا بين الجذرين وموجبًا خارجهما. الحلّ: -3 < x < 2.
- فحص بثلاث نقاط: x = 0 (بين الجذرين) يعطي (-2)(3) = -6 < 0 ✔؛ x = 3 يعطي (1)(6) = 6 ✘؛ x = -4 يعطي (-6)(-1) = 6 ✘.
الحلّ: -3 < x < 2. القاعدة العامّة التي تُختصر بها كلّ متباينة تربيعيّة: انقل كلّ شيء إلى طرف واحد، حلّل إلى عوامل، جِد الجذرين - ثمّ إذا كان معامل x² موجبًا فالتعبير سالب بين الجذرين وموجب خارجهما.
أخطاء شائعة
- عدم عكس الإشارة عند القسمة على سالب. هذا أوّل مصدر للخطأ وأكثره تكرارًا: من -2x > 8 يُكتب x > -4 بدل x < -4. واضعو الأسئلة يعرفون هذا، ولذلك تجد الإجابة الخاطئة معروضة بين الإجابات المقترحة بالضبط.
- عكس الإشارة عند نقل حدّ من طرف إلى آخر. الخطأ المعاكس: نقل الحدّ عمليّة جمع أو طرح، وهي لا تغيّر الاتجاه أبدًا. الانقلاب مرتبط بالضرب والقسمة فقط.
- الضرب في مجهول لا تُعرف إشارته. إذا كانت لديك 6/x > 2، فالضرب في x خطأ: لا تعرف هل x موجب فيبقى الاتجاه، أم سالب فينقلب. الطريق السليم: انقل كلّ شيء إلى طرف واحد وافحص إشارة التعبير، أو افصل الحلّ إلى حالتين - x > 0 وx < 0.
- الاكتفاء بنصف الحلّ في المتباينة التربيعيّة. من x² > 9 تُكتب الإجابة x > 3 فقط، بينما الحلّ الكامل هو x < -3 أو x > 3 - لأنّ (-4)² = 16 وهو أكبر من 9 أيضًا.
- الخلط بين الصارمة وغير الصارمة. «أصغر من 9» ليست «أصغر من أو تساوي 9». اقرأ إشارة السؤال مرّة أخرى قبل اختيار الإجابة، خاصّةً حين تتشابه إجابتان في العدد وتختلفان في الإشارة وحدها.
- طرح متباينة من أخرى. الجمع مسموح حين يكون الاتجاه موحّدًا، أمّا الطرح فيقود إلى استنتاجات غير صحيحة. إذا احتجت إلى الطرح، اضرب المتباينة الثانية في -1 (مع انقلاب اتجاهها) ثمّ اجمع.
استراتيجيات للامتحان
1. فحص القيم الحدّيّة
حوّل المتباينة إلى معادلة، أي استبدل الإشارة بعلامة مساواة، وحُلّها. القيم التي تحصل عليها هي حدود المجالات. بعدها لا تبقى إلّا مهمّة واحدة: افحص نقطة واحدة من كلّ مجال لتعرف أيّ المجالات يحقّق المتباينة. هذه الطريقة أسرع وأأمن من الحلّ الجبريّ الكامل في المتباينات التربيعيّة وفي متباينات الكسور.
2. التعويض في الإجابات المقترحة
لديك أربع إجابات معطاة، وكلّ إجابة هي مجال. اختر عددًا بسيطًا وافحصه في المتباينة الأصليّة: كلّ إجابة لا تتّفق مع نتيجة الفحص تُشطَب فورًا. اختيار ذكيّ لعدد أو عددين يكفي عادةً لشطب ثلاث إجابات من أربع، بلا حلّ جبريّ إطلاقًا. تجنّب في هذا الفحص العددين 0 و1 حين يكونان على حدّ المجال بالضبط، لأنّهما قد يبقيان إجابتين صالحتين معًا.
3. ارسم خطّ الأعداد
سطر واحد على هامش الكراسة، عليه الجذور أو الحدود، مع تظليل خفيف للمجال المطلوب - يمنع أكثر أخطاء الاتجاه شيوعًا ويستغرق خمس ثوانٍ. وهو ضروريّ بشكل خاصّ حين يكون الحلّ مؤلَّفًا من مجالين منفصلين مثل x < -3 أو x > 3.
4. اقرأ ماذا يطلب السؤال بالضبط
لا يطلب كلّ سؤال مجال الحلّ نفسه. أحيانًا يُطلب أصغر عدد صحيح يحقّق المتباينة، أو عدد الأعداد الصحيحة في المجال، أو أيّ قيمة من الإجابات لا يمكن أن تكون حلًّا. الحلّ الجبريّ هنا هو منتصف الطريق فقط - السطر الأخير من السؤال هو الذي يحدّد الإجابة.
5. ملاحظة عن الوقت والقوانين
في كلّ فصل كمّي في البسيخومتري 20 سؤالًا في 20 دقيقة، أي دقيقة واحدة في المتوسّط لكلّ سؤال، وسؤال المتباينة من النوع الذي يجب أن يُحَلّ في أقلّ من ذلك ليموّل مسائل أطول. ومن المهمّ أن تعرف أنّ صفحة القوانين المرفقة في مطلع كلّ فصل كمّي - وهي تشمل النسبة المئوية والأُسس والضرب المختصر والسرعة والقدرة ومضروب العدد وقوانين الهندسة - لا تتضمّن قواعد المتباينات. القواعد المعروضة في هذا الدرس قليلة، لكن يجب أن تكون محفوظة قبل دخول القاعة.
من الدرس إلى التدريب
قراءة القواعد لا تكفي؛ ما يثبّت قاعدة انقلاب الإشارة هو أن تخطئ فيها مرّتين في التدريب لا في الامتحان. في بنك التدريب بالعربية 111 سؤالًا في المتباينات، من المتباينة الخطّيّة المباشرة إلى الأنظمة والمتباينات التربيعيّة، وكلّ سؤال مرفق بشرح كامل يبيّن أيضًا سبب خطأ كلّ إجابة أخرى.
تدرّب الآن على 111 سؤالًا في المتباينات ← جرّب محاكاة بسيخومتري كاملة
بعد التدريب على الموضوع منفردًا، انتقل إلى العمل بساعة موقوتة داخل فصل كمّي كامل - فالمتباينات نادرًا ما تظهر وحدها، وغالبًا ما تكون خطوة داخل مسألة كلاميّة أطول. للصورة الكاملة عن الفصل راجع دليل التفكير الكمّي بالعربية، ولترتيب مواضيع الجبر بالتسلسل ابدأ من درس المعادلات قبل هذا الدرس، وتابع بعده إلى درس الأُسس والجذور. ومن يريد قراءة القواعد نفسها بالعبرية يجدها في صفحة قواعد المتباينات في القسم العبري من الموقع.