النسب المئوية هي أوّل ما ينبغي إتقانه في التفكير الكمّي في امتحان البسيخومتري، لأنّها تتسلّل إلى كلّ أنواع المسائل تقريبًا: مسألة عن ثمن سلعة بعد تخفيض، مسألة عن تركيز ملح في محلول، سؤال استنتاج من رسم بياني تُعطى أعمدته كنسب، أو مسألة عن مبلغ يزداد سنة بعد سنة. الرياضيّات هنا بسيطة تمامًا؛ الصعوبة كلّها في تحديد الأساس الذي تُحسب منه النسبة، وفي السرعة. هذا الدرس يعطيك المفهوم، القوانين التي تكفي، ثلاثة أمثلة محلولة خطوة بخطوة، والأخطاء التي تُفقد النقاط أكثر من غيرها.
المفهوم: النسبة المئوية كسر مقامه 100
كلمة «بالمئة» تعني حرفيًّا «من كلّ مئة». حين نقول إنّ 30% من الصفّ بنات، فنحن نقول إنّه من كلّ 100 طالب هناك 30 بنتًا. أي أنّ الرمز % ليس أكثر من اختصار للقسمة على مئة:
30% = 30/100 = 0.3
ومن هنا تأتي الفكرة العمليّة الأهمّ في الموضوع كلّه: كلّ نسبة مئوية هي عدد عاديّ، ومتى حوّلتها إلى كسر عشريّ صار كلّ شيء ضربًا وقسمة بسيطَين. «كم يبلغ 30% من 250؟» هو سؤال ضرب واحد: 0.3 × 250 = 75.
وللنسبة ثلاثة أطراف فقط، وأيّ مسألة نسب مئوية تعطيك اثنين منها وتطلب الثالث:
- الكلّ - المقدار الذي تُحسب النسبة منه (وهو دائمًا 100% من نفسه).
- الجزء - المقدار الذي تشكّله النسبة من الكلّ.
- النسبة - العلاقة بينهما، معبَّرًا عنها بالمئة.
يفيدك أن تحفظ التحويلات الشائعة، فهي تختصر الحساب إلى ذهنيّ في كثير من الأسئلة:
| النسبة المئوية | الكسر العاديّ | الكسر العشريّ |
|---|---|---|
| 10% | 1/10 | 0.1 |
| 12.5% | 1/8 | 0.125 |
| 20% | 1/5 | 0.2 |
| 25% | 1/4 | 0.25 |
| 33.33% | 1/3 | 0.333… |
| 50% | 1/2 | 0.5 |
| 75% | 3/4 | 0.75 |
| 150% | 3/2 | 1.5 |
لاحظ السطر الأخير: النسبة المئوية ليست محصورة بين 0 و100. مقدار يساوي 150% من آخر يعني ببساطة أنّه يساوي مرّة ونصف المقدار الآخر.
القوانين الأساسية
صفحة القوانين المرفقة في مطلع كلّ فصل كمّي في الامتحان تتضمّن قانون النسبة المئوية، فأنت لست مطالبًا بحفظ الصيغة عن ظهر قلب - بل بمعرفة أيّ صيغة تُستعمَل متى. هذه هي الصيغ السبع التي تغطّي عمليًّا كلّ ما قد يُطلب منك.
1. حساب نسبة مئوية من مقدار
الجزء يساوي المعامل العشريّ مضروبًا في الكلّ:
P = (r / 100) × W
مثال: 15% × 240 = 0.15 × 240 = 36
2. أيّ نسبة يشكّل مقدار من مقدار آخر
اقسم الجزء على الكلّ واضرب في مئة:
r% = (P / W) × 100%
مثال: (36 / 240) × 100% = 15%
3. إيجاد الكلّ حين يُعطى الجزء
هنا نقسم بدل أن نضرب، وهذا بالضبط ما يُخطئ فيه كثيرون:
W = P / (r / 100)
مثال: إذا كان 15% من مبلغ يساوي 36، فالمبلغ هو 36 / 0.15 = 240
4. الزيادة والتخفيض: اضرب بمعامل
لا تحسب الزيادة ثمّ تجمعها؛ اضرب مباشرة بمعامل واحد. هذه هي أهمّ عادة يمكن أن تكتسبها في الموضوع كلّه:
زيادة r% : W × (1 + r/100)
تخفيض r% : W × (1 − r/100)
مثال: زيادة 20% على 340 هي 340 × 1.2 = 408، وتخفيض 20% منه هو 340 × 0.8 = 272.
5. تغيّرات متتالية: اضرب المعاملات، لا تجمع النسب
حين يطرأ على المقدار تغيّران متتاليان، المعامل الكلّيّ هو حاصل ضرب المعاملَين:
(1 + r1/100) × (1 + r2/100)
مثال: زيادة 50% ثمّ زيادة 20% تعطي 1.5 × 1.2 = 1.8، أي زيادة إجماليّة قدرها 80% - وليس 70%. الفرق يأتي من أنّ الزيادة الثانية محسوبة من المقدار الجديد، لا من الأصليّ.
6. نسبة التغيّر بين قيمتين
الفرق مقسومًا على القيمة الأصليّة - أي القيمة التي انطلقنا منها:
((الجديد − القديم) / القديم) × 100%
وإذا كانت النتيجة سالبة فهي انخفاض، وإذا كانت موجبة فهي زيادة.
7. الفائدة البسيطة والفائدة المركّبة
في الفائدة البسيطة تُحسب الفائدة في كلّ سنة من المبلغ الأصليّ وحده:
A = P × (1 + (r × t) / 100)
أمّا في الفائدة المركّبة فتُضاف فائدة كلّ سنة إلى رأس المال وتُحسب فائدة السنة التالية من المجموع الجديد:
A = P × (1 + r/100)t
مثال يوضّح الفرق: مبلغ 1000 بفائدة 10% سنويًّا لمدّة سنتين يصبح بالفائدة البسيطة 1000 × 1.2 = 1200، وبالفائدة المركّبة 1000 × 1.1 × 1.1 = 1210. انتبه إلى الكلمة الدالّة في نصّ السؤال - «بسيطة» أو «مركّبة» - قبل أن تحسب.
ثلاثة أمثلة محلولة
الأمثلة الثلاثة متدرّجة الصعوبة. حاول حلّ كلّ واحد منها قبل قراءة الحلّ، وقِس الوقت: هدفك في الامتحان هو حوالي دقيقة واحدة في المتوسّط لكلّ سؤال.
السؤال: ثمن حقيبة 240 شيكل، وأُعطي عليها تخفيض بنسبة 15%. ما الثمن بعد التخفيض؟
الحلّ خطوة بخطوة:
- حدّد الأساس: النسبة محسوبة من الثمن الأصليّ، أي من 240.
- حوّل النسبة إلى معامل: تخفيض 15% يعني أنّ الباقي هو 85%، أي معامل 0.85.
- اضرب: 240 × 0.85 = 204
الإجابة: 204 شيكل.
ملاحظة: الطريق الأطول - حساب 0.15 × 240 = 36 ثمّ 240 − 36 = 204 - يعطي النتيجة نفسها ولكن بخطوتين بدل خطوة. عوّد نفسك على المعامل المباشر منذ الأسئلة السهلة، لأنّ الفارق يظهر في الأسئلة الصعبة.
السؤال: ازداد عدد المشتركين في نادٍ رياضيّ من 250 إلى 300 خلال سنة. (أ) بأيّ نسبة مئوية ازداد العدد؟ (ب) في السنة التالية عاد العدد إلى 250 بالضبط. بأيّ نسبة مئوية انخفض؟
الحلّ خطوة بخطوة:
- الفرق بين العددين واحد في الحالتين: 300 − 250 = 50.
- في البند (أ) القيمة الأصليّة هي 250، فنقسم عليها: 50 / 250 = 0.2 ومنه زيادة قدرها 20%.
- في البند (ب) انطلقنا هذه المرّة من 300، فالقسمة على 300: 50 / 300 = 1/6 ≈ 0.1667 ومنه انخفاض قدره 16.67% تقريبًا.
الإجابة: زيادة 20%، ثمّ انخفاض 16.67% تقريبًا.
الفكرة التي يختبرها السؤال: النسبة نفسها لا تعمل في الاتّجاهين. الفرق المطلق ثابت، لكنّ الأساس تغيّر - ولهذا زيادة 20% يلغيها انخفاض أصغر من 20%. متى رأيت سؤالًا يذهب ويعود، اسأل فورًا: القسمة على أيّ عدد؟
السؤال: في وعاء 500 غرام من محلول، نسبة الملح فيه 12%. كم غرامًا من الماء يجب تبخيره حتى تصبح نسبة الملح في المحلول 15%؟
الحلّ خطوة بخطوة:
- ابحث أوّلًا عن المقدار الذي لا يتغيّر. التبخير يُخرج ماءً فقط، إذن كمّية الملح تبقى كما هي - وهذا مفتاح المسألة كلّها.
- احسب كمّية الملح: 0.12 × 500 = 60 غرامًا.
- بعد التبخير يشكّل هذا الملح نفسه 15% من الوزن الجديد. استعمل قانون إيجاد الكلّ: 60 / 0.15 = 400 غرام.
- الفرق بين الوزنين هو الماء المتبخّر: 500 − 400 = 100.
الإجابة: يجب تبخير 100 غرام من الماء.
الفخّ: الفرق بين 12% و15% هو ثلاث نقاط مئوية، وقد يغري ذلك بحساب 3% من 500 والإجابة 15 - وهي إجابة خاطئة تمامًا، لأنّ النسبتين محسوبتان من وزنَين مختلفَين. في كلّ مسائل التراكيز، ابدأ بالمقدار الثابت لا بالنسب.
أخطاء شائعة
- الخلط في أساس النسبة. «انخفض السعر بنسبة 25% وصار 90 شيكل» - النسبة هنا محسوبة من السعر الأصليّ المجهول، لا من 90. الحلّ الصحيح هو 0.75 × X = 90 ومنه X = 120، وليس إضافة 25% إلى 90. هذا الخطأ وحده مسؤول عن جزء كبير من الإجابات الخاطئة في الموضوع، والمشتت المقابل له موجود عادةً بين الإجابات المقترحة.
- جمع النسب المتتالية بدل ضرب معاملاتها. زيادة 10% ثمّ زيادة 10% ليست زيادة 20% بل 1.1 × 1.1 = 1.21، أي 21%. وبالمثل: تخفيض 20% ثمّ زيادة 20% لا يعيدك إلى السعر الأصليّ، بل إلى 0.8 × 1.2 = 0.96 منه - أي أقلّ منه بنسبة 4%.
- الخلط بين «ازداد بنسبة» و«أصبح». «ازداد المبلغ بنسبة 40%» تعني أنّه صار 140% من الأصل (معامل 1.4)، بينما «أصبح المبلغ 40% من الأصل» تعني أنّه انخفض إلى أقلّ من نصفه (معامل 0.4). اقرأ حرف الجرّ، لا الرقم وحده.
- الخلط بين النقطة المئوية والنسبة المئوية. إذا ارتفعت نسبة النجاح من 20% إلى 25%، فالارتفاع هو 5 نقاط مئوية، لكنّه ارتفاع بنسبة (5 / 20) × 100% = 25%. الصيغتان صحيحتان لكنّهما تقيسان شيئين مختلفين، والسؤال يحدّد أيّهما يريد.
- حساب أكثر ممّا هو مطلوب. كثير من الأسئلة يطلب الفرق أو النسبة لا القيمة النهائيّة، وبعضها لا يحتاج إلى معرفة المقدار الأصليّ إطلاقًا (الجواب واحد أيًّا كان). عُد إلى السطر الأخير من السؤال قبل اختيار الإجابة.
استراتيجيات للامتحان
افترض أنّ الأساس 100
إذا لم يُعطَ السؤال أيّ مقدار عدديّ - «ازداد سعر سلعة بنسبة 20% ثمّ انخفض بنسبة 25%، ما نسبة التغيّر الإجماليّة؟» - فافترض أنّ السعر الأصليّ 100. الحساب يصير ذهنيًّا: 100 → 120 → 90، أي انخفاض إجماليّ قدره 10%. النتيجة لا تعتمد على المقدار الأصليّ، فاختر أسهل مقدار ممكن.
اعمل بالمعاملات دائمًا
حوّل كلّ نسبة إلى معامل ضرب في اللحظة التي تقرأها فيها: «تخفيض 30%» تُكتب على الهامش ×0.7، و«زيادة 25%» تُكتب ×1.25. سلسلة من ثلاثة تغيّرات تصير عندها ضربة واحدة بدل ثلاث خطوات جمع وطرح.
استعمل الكسور بدل الأعداد العشريّة
حساب 25% من عدد يعني قسمته على 4، و12.5% يعني قسمته على 8، و33.33% يعني قسمته على 3. الكسر أسرع من الضرب العشريّ بلا حاسبة، والامتحان يُحَلّ بلا حاسبة.
احسب النسب المركّبة بالتفكيك
15% من عدد = 10% منه (نقل الفاصلة خانة واحدة) زائد نصف ذلك. مثال: 15% من 380 هي 38 + 19 = 57. وبالمثل 35% = 25% + 10%.
اشطب بالاتّجاه قبل أن تحسب
قبل الحساب الكامل، اسأل: هل يجب أن تكون النتيجة أكبر من المعطى أم أصغر منه؟ في سؤال عن تخفيض، كلّ إجابة أكبر من السعر الأصليّ مشطوبة فورًا. وكثيرًا ما يترك ذلك احتمالين فقط - وعندها حتّى التخمين صار رابحًا، خاصّة أنّ العلامة الخام هي مجموع الإجابات الصحيحة ولا تُخصَم عن الخطأ.
انتبه إلى الوحدات وإلى الصيغة المطلوبة
بعض الأسئلة تطلب الإجابة كنسبة مئوية والإجابات المقترحة معطاة كأعداد، أو العكس. وفي أسئلة الاستنتاج من رسم بياني، تحقّق أوّلًا ممّا إذا كان محور القيم يعرض أعدادًا مطلقة أم نسبًا مئوية - هذا التمييز وحده يحسم الأسئلة الأربعة المرتبطة بالرسم.
من الدرس إلى التدريب
قراءة القوانين لا تكفي: النسب المئوية تُتقَن بالتكرار حتّى يصير تحويل «تخفيض 30%» إلى ×0.7 تلقائيًّا بلا تفكير. في صفحة التدريب بالعربية 149 سؤالًا في هذا الموضوع تحديدًا، متدرّجة من السهل إلى الصعب، وكلّ سؤال مرفق بشرح كامل يبيّن الطريق الأقصر إلى الحلّ.
تدرّب على النسب المئوية الآن (149 سؤالًا) جرّب امتحان محاكاة كامل ←
ابدأ بحلّ الأسئلة بلا ساعة حتّى تستقرّ طريقتك، ثمّ انتقل إلى العمل الموقوت. وحين تنتهي من هذا الموضوع، انتقل إلى الموضوع الأقرب إليه منطقيًّا - درس النسب والتناسب - ثمّ راجع دليل الفصل الكمّي الكامل لترى أين يقع كلّ موضوع داخل بنية الامتحان.