مسائل الاحتمال في الفصل الكمّي من امتحان البسيخومتري تبدو للكثيرين أصعب ممّا هي فعلًا، لأنّ اسم الموضوع يستدعي في الذهن رياضيّات جامعيّة. الواقع أبسط بكثير: الأسئلة مبنيّة على عدد صغير جدًّا من القوانين، والحساب فيها غالبًا كسر بسيط أو ضرب كسرين. ما يفصل بين من يحلّها في نصف دقيقة ومن يضيع فيها ثلاث دقائق هو قراءة السؤال، لا القدرة الحسابيّة. هذا الدرس يبني الموضوع من أوّله: المفهوم، القوانين، ثلاثة أمثلة محلولة خطوة بخطوة، والأخطاء التي تتكرّر أكثر من غيرها.
المفهوم: فضاء النتائج والنتائج متساوية الاحتمال
كلّ سؤال احتمال يبدأ من تجربة عشوائية: رمي حجر نرد، سحب كرة من إناء، اختيار شخص من مجموعة. مجموعة كلّ النتائج الممكنة لهذه التجربة تُسمّى فضاء النتائج. عند رمي حجر نرد عادل مثلًا، فضاء النتائج هو 1, 2, 3, 4, 5, 6 - ستّ نتائج.
الكلمة المفتاحيّة في الجملة السابقة هي عادل. حين تكون كلّ نتيجة في الفضاء بالفرصة نفسها - حجر نرد غير مغشوش، قطعة نقود متوازنة، كرات متطابقة في الحجم والملمس داخل إناء - نقول إنّ النتائج متساوية الاحتمال، وعندها يصبح حساب الاحتمال مجرّد عمليّة عدّ:
P(A) = n(A) / n(S)حيث n(A) هو عدد الحالات التي تحقّق شرط السؤال وn(S) هو عدد كلّ الحالات الممكنة. أي: عدد الحالات المرغوبة مقسومًا على عدد كلّ الحالات الممكنة. ومن هذا التعريف تنبع خاصّيتان تستعملهما كفحص معقوليّة في كلّ سؤال:
- الاحتمال هو دائمًا عدد بين 0 و1 - 0 ≤ P(A) ≤ 1. إجابة أكبر من 1 هي خطأ حسابيّ، لا إجابة صعبة.
- احتمال حادث مؤكّد يساوي 1، واحتمال حادث مستحيل يساوي 0.
في الامتحان تظهر الإجابات عادةً ككسور بسيطة (1/6, 2/5, 3/8) أو كأعداد عشرية (0.36, 0.72). انتبه إلى الصيغة التي تستعملها الإجابات المقترحة واعمل بها من البداية بدل التحويل في النهاية.
القوانين الأربعة
هذه القوانين تكفي عمليًّا لكلّ سؤال احتمال في مستوى الامتحان:
| القانون | الصيغة | متى تستعمله |
|---|---|---|
| الاحتمال الأساسي | P(A) = n(A) / n(S) | فضاء نتائج متساوية الاحتمال: نرد، عملة، سحب كرة واحدة، اختيار عدد. |
| ضرب الحوادث المستقلّة | احتمال وقوع A وB معًا = P(A) × P(B) | حادثان يقعان معًا أو الواحد بعد الآخر، ولا يؤثّر أحدهما في الآخر. الكلمة الدالّة: «و». |
| الاحتمال المتمّم | احتمال ألّا يقع A = 1 − P(A) | السؤال يطلب احتمال ألّا يقع شيء، أو حين يكون عدّ الحالات المعاكسة أسهل بكثير. |
| «واحد على الأقل» | احتمال «واحد على الأقل» = 1 − P(B) | كلّما ظهرت عبارة «واحد على الأقل» في نصّ السؤال، حيث B هو الحادث المعاكس: «ولا واحد». |
1. الاحتمال الأساسي: عدّ، ثمّ اقسم
الخطوة الأولى دائمًا هي تحديد المقام: كم نتيجة ممكنة في المجمل؟ ثمّ البسط: كم منها يحقّق شرط السؤال؟ في إناء فيه 3 كرات حمراء و5 زرقاء، المجموع 8 كرات، واحتمال سحب كرة حمراء هو 3/8. بهذه البساطة.
2. الضرب: حوادث مستقلّة ومتتابعة
حادثان مستقلّان إذا كان وقوع أحدهما لا يغيّر احتمال الآخر: رميتان لحجر نرد، إصابتان منفصلتان لهدف، نجاح طالب في امتحانين مختلفين. في هذه الحالة يُضرب الاحتمالان:
مثال: احتمال أن ينجح طالب في امتحان الرياضيّات 0.8، وفي امتحان الإنچليزيّة 0.7، والحادثان مستقلّان. احتمال أن ينجح في الاثنين معًا هو 0.8 × 0.7 = 0.56.
وحين تكون الحوادث متتابعة ومتعلّقة - مثل السحب دون إرجاع - نضرب أيضًا، لكنّ الاحتمال الثاني يُحسب على الوضع بعد الحادث الأوّل: المقام ينقص بواحد، والبسط ينقص أيضًا إذا كانت الكرة المسحوبة من اللون المطلوب. هذا الفرق بين «مع الإرجاع» و«دون إرجاع» مذكور دائمًا صراحةً في نصّ السؤال، وهو المعطى الذي يقرّر شكل الحلّ كلّه.
3. الجمع: حالات بديلة
حين يمكن للنتيجة المطلوبة أن تتحقّق بأكثر من طريقة، ولا يمكن لهاتين الطريقتين أن تقعا معًا (حادثان متنافيان)، تُجمع احتمالاتهما:
مثال: احتمال أن يظهر على حجر النرد 1 أو 6 هو 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. القاعدة الذهنيّة: «و» تعني ضربًا، و«أو» تعني جمعًا. وكثير من الأسئلة تحتاج إلى الاثنين معًا: تضرب داخل كلّ مسار، ثمّ تجمع المسارات.
4. المتمّم و«واحد على الأقل»
احتمال ألّا يقع الحادث هو مكمّل احتمال وقوعه إلى 1:
هذا القانون هو الطريق الأقصر في عائلة كاملة من الأسئلة. عبارة «واحد على الأقل» تعني: واحد، أو اثنان، أو ثلاثة... - أي حالات كثيرة يجب جمعها. لكنّ الحالة المعاكسة واحدة فقط: ولا واحد. لذلك:
كلّما رأيت «على الأقل» في سؤال احتمال، اذهب مباشرة إلى المتمّم قبل أن تبدأ بعدّ الحالات.
ثلاثة أمثلة محلولة
يُرمى حجر نرد عادل مرّة واحدة. ما احتمال الحصول على نتيجة أكبر من 4؟
الحلّ. فضاء النتائج: 1, 2, 3, 4, 5, 6 - ستّ نتائج متساوية الاحتمال، وهذا هو المقام. النتائج التي تحقّق الشرط «أكبر من 4» هي 5 و6 - نتيجتان، وهذا هو البسط.
P = 2/6 = 1/3الانتباه. «أكبر من 4» لا تشمل 4 نفسه. لو كان السؤال «4 أو أكبر» لكان البسط ثلاث نتائج والجواب 3/6 = 1/2. الفرق بين الصيغتين كلمة واحدة، والفرق في الإجابة كامل - ومثل هذه الإجابة تكون حاضرة بين المشتّتات دائمًا.
في إناء 5 كرات حمراء و3 كرات صفراء. تُسحب كرتان الواحدة تلو الأخرى دون إرجاع. ما احتمال أن تكون كلتاهما حمراء؟
الحلّ. مجموع الكرات 5 + 3 = 8.
السحبة الأولى: 5 كرات حمراء من أصل 8، أي 5/8.
السحبة الثانية تُحسب على الوضع الجديد: كرة حمراء خرجت ولم تُرجَع، فبقيت 4 حمراء من أصل 7 كرات - أي 4/7. لاحظ أنّ البسط والمقام نقصا معًا.
الحادثان يقعان الواحد بعد الآخر («و»)، إذن نضرب:
P = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14الانتباه. لو كان السحب مع الإرجاع، لبقي الوضع كما هو في السحبة الثانية وكانت الإجابة 5/8 × 5/8 = 25/64. كلمتان في نصّ السؤال، مساران مختلفان تمامًا - اقرأهما قبل أن تكتب أوّل كسر.
تُرمى قطعة نقود عادلة ثلاث مرّات. ما احتمال الحصول على «صورة» مرّة واحدة على الأقل؟
الطريق الطويل هو جمع ثلاث حالات: صورة واحدة بالضبط، صورتان بالضبط، وثلاث صور. ممكن، لكنّه يستهلك أكثر من دقيقة.
الطريق القصير هو المتمّم. الحالة المعاكسة لـ«صورة مرّة واحدة على الأقل» هي حالة واحدة فقط: ولا صورة إطلاقًا، أي «كتابة» في الرميات الثلاث. الرميات مستقلّة واحتمال «كتابة» في كلّ منها 1/2، إذن:
ومنه:
الانتباه. الخطأ المتوقّع هنا هو جمع الاحتمالات: 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1.5 - نتيجة أكبر من 1، أي مستحيلة بالتعريف. فحص المعقوليّة وحده كان كافيًا لكشف الخطأ قبل النظر إلى الإجابات.
أخطاء شائعة
- الجمع بدل الضرب. الخطأ الأوّل في هذا الموضوع بلا منافس. «كلتاهما حمراء»، «في الرميتين»، «ينجح في الاثنين» - كلّها تعني ضربًا. الجمع مخصّص للحالات البديلة التي لا تقع معًا. علامة الإنذار: احتمال ناتج أكبر من 1، أو احتمال يزداد كلّما أضفت شرطًا - وهذا مستحيل، فكلّ شرط إضافيّ يجعل الحادث أندر لا أكثر شيوعًا.
- افتراض الاستقلال حيث لا يوجد. السحب دون إرجاع يجعل الحادث الثاني متعلّقًا بالأوّل. من يترك المقام كما هو في السحبة الثانية يحصل على إجابة موجودة بين المشتّتات بالضبط، لأنّها الخطأ المتوقّع. اسأل دائمًا: هل عاد ما سُحب إلى مكانه؟
- نسيان تغيّر البسط أيضًا. من ينتبه إلى نقصان المقام (8 → 7) وينسى نقصان البسط (5 → 4) يخطئ في نصف الحساب. حين تُسحب كرة من اللون المطلوب، ينقص العدّان معًا.
- عدّ «على الأقل» يدويًّا. ليس خطأً في المبدأ، لكنّه خطأ في إدارة الوقت: تجمع أربع حالات في وقت يكفي لسؤالين. عبارة «على الأقل» هي إشارة إلى المتمّم.
- تجاهل الترتيب. «كرة حمراء وكرة زرقاء» في سحبتين يمكن أن تتحقّق بطريقتين: حمراء ثمّ زرقاء، أو زرقاء ثمّ حمراء. من يحسب مسارًا واحدًا فقط يحصل على نصف الإجابة الصحيحة تمامًا.
- الخلط بين النسبة المئوية والاحتمال. «20% من السكّان» تعني احتمال 0.2 عند اختيار شخص عشوائيًّا. حوّل النسبة إلى كسر عشريّ قبل الضرب، لا بعده - وراجع درس النسب المئوية إن كان هذا التحويل يبطئك.
استراتيجيات الحلّ
1. اسأل «و» أم «أو» قبل الحساب
قبل أن تكتب رقمًا واحدًا، حدّد بنية السؤال: هل الحادثان يجب أن يقعا معًا (ضرب)، أم أنّهما بديلان (جمع)؟ في الأسئلة المركّبة تكون الإجابة: الاثنان - تضرب داخل كلّ مسار ممكن، ثمّ تجمع المسارات. هذه الجملة الواحدة تحلّ أغلب أسئلة الموضوع.
2. «على الأقل» ← المتمّم
اعتبرها قاعدة آليّة: ما إن تقع عينك على «واحد على الأقل»، احسب احتمال «ولا واحد» واطرحه من 1. لا تفكّر في الحالات المطلوبة أصلًا.
3. حدّد المقام أوّلًا
ابدأ دائمًا من السؤال: كم نتيجة ممكنة في المجمل؟ في رمي حجرَي نرد المجموع 6 × 6 = 36 نتيجة، وفي سحب كرتين من ثمانٍ دون إرجاع يُحسب المقام إمّا بالتتابع أو بالتوافيق. تثبيت المقام قبل البسط يمنع نصف الأخطاء - وأسئلة العدّ الأصعب تعتمد على قواعد التوافيق.
4. أبقِ الكسور كما هي
لا تحوّل إلى أعداد عشرية ولا تختصر مبكرًا. 5/8 × 4/7 تُختصر أثناء الضرب نفسه وتوفّر عليك ثواني؛ التحويل إلى 0.625 × 0.571 يضيف حسابًا طويلًا وخطر تقريب. وإذا كانت الإجابات المقترحة كسورًا غير مختصرة، فالإجابة قد تظهر بصيغة 20/56 بدل 5/14 - افحص التكافؤ قبل أن تستبعد.
5. عُدّ مباشرة حين يكون الفضاء صغيرًا
في رمي حجرَي نرد الفضاء 36 نتيجة فقط، وأحيانًا يكون عدّ الحالات المطلوبة على الورق أسرع وأأمن من أيّ صيغة. لا تبحث عن قانون أنيق حين تستطيع أن تعدّ في عشر ثوانٍ.
6. افحص المعقوليّة قبل التعليم على الإجابة
النتيجة بين 0 و1؛ واحتمال «على الأقل» يجب أن يكون كبيرًا نسبيًّا؛ واحتمال حادث نادر يجب أن يكون صغيرًا. هذا الفحص يستغرق ثانيتين ويكشف أخطاء الضرب والجمع فورًا. ولأنّ كثيرًا من أسئلة الاحتمال تُصاغ بلغة النسب، يفيد أيضًا إتقان النسب والتناسب.
من القراءة إلى التدريب
قراءة القوانين لا تكفي: الفرق بين من يعرف القانون ومن يستعمله في أقلّ من دقيقة هو التدريب المتكرّر على أسئلة بمستوى الامتحان. في تدريب أسئلة الاحتمال بالعربية ستجد أسئلة من كلّ الأنماط التي مرّت في هذا الدرس - نرد وعملات، كرات مع الإرجاع ودونه، حوادث مستقلّة، ومسائل «على الأقل» - وكلّ سؤال مرفق بشرح كامل يفكّك أيضًا سبب خطأ كلّ إجابة أخرى. التدريب مجانيّ بالكامل، بدون تسجيل.
للصورة الأوسع عن الفصل الذي تنتمي إليه هذه الأسئلة، راجع دليل التفكير الكمّي بالعربية؛ ولمن يفضّل المتابعة بالعبرية، الصفحة الموازية هي מדריך ההסתברות בפסיכומטרי.