مسائل النسب والتناسب من أكثر عائلات المسائل الكلاميّة حضورًا في الفصل الكمّي من امتحان البسيخومتري، وهي في الوقت نفسه من أسرعها حلًّا متى عرفتَ الطريق. رياضيّاتها بسيطة - قسمة وضرب - وصعوبتها كلّها في القراءة: أيّ مقدار يُقارَن بأيّ مقدار، وهل السؤال يطلب حصّة أم مجموعًا أم فرقًا. هذا الدرس يبني المفهوم من أوّله، يجمع القوانين في مكان واحد، ثمّ يحلّ ثلاثة أمثلة متدرّجة الصعوبة.
المفهوم: ما الذي تقوله لك النسبة - وما الذي لا تقوله
النسبة مقارنة بين مقدارين من الصنف نفسه. حين نكتب أنّ النسبة بين عدد الأولاد وعدد البنات في صفّ هي 3:5، فنحن نقول شيئًا واحدًا فقط: مقابل كلّ ثلاثة أولاد توجد خمس بنات. لا نقول إنّ في الصفّ ثلاثة أولاد، ولا خمس بنات. قد يكون الصفّ 3 و5، وقد يكون 12 و20، وقد يكون 30 و50. كلّ هذه الحالات تحقّق النسبة ذاتها.
من هنا تأتي القاعدة الأولى: النسبة تُترجَم إلى أجزاء. النسبة 3:5 تعني أنّ المجموعة كلّها مقسومة إلى 3 + 5 = 8 أجزاء متساوية، ثلاثة منها أولاد وخمسة بنات. وبمجرّد أن تعرف قيمة الجزء الواحد تعرف كلّ شيء عن المسألة.
النسبة تُكتب أيضًا في صورة كسر: 3:5 هي 3/5. والكسر يُختصر كما يُختصر أيّ كسر، ولذلك النسبة 12:18 والنسبة 2:3 هما النسبة نفسها - قسمنا الحدّين على 6. الصورة المختصرة هي التي تُطلب عادةً في الإجابات، فاعتَد أن تختصر قبل أن تقارن بالمشتتات.
تقسيم كمّية حسب نسبة
هذا هو النموذج الأكثر تكرارًا في الباب: مبلغ أو كمّية أو محيط شكل يُقسَم بين طرفين أو ثلاثة حسب نسبة معطاة. المسار ثابت من ثلاث خطوات: اجمع حدود النسبة لتحصل على عدد الأجزاء؛ اقسم الكمّية الكلّية على عدد الأجزاء لتحصل على قيمة الجزء الواحد؛ اضرب قيمة الجزء في حدّ الحصّة المطلوبة.
ولهذا المسار فائدة جانبيّة قويّة في الامتحان: الكمّية الكلّية يجب أن تقبل القسمة على مجموع الأجزاء. إذا قُسّم مبلغ حسب النسبة 2:3:5، فمجموع الأجزاء 10، وأيّ إجابة لا تنسجم مع هذه القسمة يمكن شطبها قبل الحساب.
التناسب الطردي والتناسب العكسي
في التناسب الطردي يكبر المقداران معًا ويصغران معًا، وخارج قسمة أحدهما على الآخر ثابت: إذا كان ثمن ثلاثة كرّاسات 24 شيكل، فثمن سبع كرّاسات 56 شيكل، لأنّ ثمن الكرّاسة الواحدة 8 شيكل ثابت. أداة الحلّ هنا هي الضرب التبادلي: من 3/24 = 7/x نحصل على 3x = 168 → x = 56.
في التناسب العكسي يكبر أحد المقدارين حين يصغر الآخر، والثابت هو حاصل الضرب لا خارج القسمة. المثال النموذجيّ هو العمّال والزمن: إذا أنجز 6 عمّال عملًا في 10 أيّام، فإنّ 4 عمّال ينجزونه في 15 يومًا، لأنّ 6 · 10 = 4 · 15 = 60 يوم-عامل في الحالتين. الخلط بين النوعين هو مصدر الخطأ الأوّل هنا، والسؤال الذي يحسم الأمر بسيط: حين يزيد المقدار الأوّل، هل يزيد الثاني فعلًا أم ينقص؟
حالة خاصّة تستحقّ الانتباه: التقسيم بنسبة عكسيّة. حين يُطلب تقسيم مبلغ بنسبة عكسيّة للأعداد 3 و4 و6، تُقلَب الأعداد أوّلًا إلى 1/3 : 1/4 : 1/6، ثمّ تُضرب الحدود الثلاثة في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات (12) فتصبح النسبة 4:3:2 - وعندها يعود التقسيم عاديًّا.
القوانين
لا شيء هنا يحتاج إلى حفظ آليّ؛ كلّها تعبير رياضيّ عن الفكرة نفسها: النسبة أجزاء متساوية.
| الحالة | القانون | ملاحظة |
|---|---|---|
| اختصار النسبة | a : b = (a ÷ k) : (b ÷ k) | القسمة على قاسم مشترك لا تغيّر النسبة |
| قيمة الجزء الواحد | P = S / (a + b) | S الكمّية الكلّية، P قيمة الجزء |
| حصّة من كمّية مقسومة بنسبة a:b | S · a / (a + b) | المقام هو مجموع الحدود دائمًا، لا الحدّ الآخر |
| ثلاث حصص بنسبة a:b:c | S · a / (a + b + c) | الفرق بين حصّتين = P · (a - b) |
| تناسب طردي | a / b = c / d → a · d = b · c | الضرب التبادلي |
| تناسب عكسي | a1 · b1 = a2 · b2 | حاصل الضرب ثابت، لا خارج القسمة |
| نسبة مركّبة بحدّ مشترك | A:B = 2:3, B:C = 4:5 → A:B:C = 8:12:15 | وحّد الحدّ المشترك بالمضاعف المشترك الأصغر |
| النسبة كمتغيّر | a : b → ak , bk | الأداة الأقوى في مسائل تغيّر النسبة |
| مقياس الرسم 1:n | D = d · n | d على الخريطة، D في الواقع - بالوحدة نفسها قبل التحويل |
ثلاثة أمثلة محلولة
مثال 1 · مستوى أساسي
قُسّمت 72 قطعة حلوى بين صفّين حسب النسبة 5:4. كم قطعة حصل عليها الصفّ الثاني؟
الحلّ. مجموع الأجزاء: 5 + 4 = 9. قيمة الجزء الواحد: 72 / 9 = 8 قطع. حصّة الصفّ الثاني هي أربعة أجزاء: 4 · 8 = 32.
فحص سريع. حصّة الصفّ الأوّل 5 · 8 = 40، ومجموع الحصّتين 40 + 32 = 72 - مطابق للمعطى.
الجواب: 32 قطعة.
المشتت المتوقّع هنا هو 40: مَن يقرأ بسرعة يأخذ الحدّ الأوّل من النسبة للطرف الثاني في السؤال. اقرأ ترتيب الطرفين مرّتين قبل الضرب.
مثال 2 · مستوى متوسّط
في ورشة ثلاثة أقسام: A وB وC. النسبة بين عدد العاملين في A وB هي 2:3، والنسبة بين B وC هي 4:5. إذا كان في القسم C 45 عاملًا، فكم عاملًا في القسم A؟
الحلّ. النسبتان لا تُقرآن معًا كما هما، لأنّ الحدّ المشترك B يظهر مرّة بالقيمة 3 ومرّة بالقيمة 4. نوحّده بالمضاعف المشترك الأصغر 12: نضرب النسبة الأولى في 4 فتصبح 8:12، ونضرب الثانية في 3 فتصبح 12:15. إذن النسبة المركّبة هي A:B:C = 8:12:15.
القسم C يمثّل 15 جزءًا ويساوي 45 عاملًا، فقيمة الجزء الواحد 45 / 15 = 3. والقسم A ثمانية أجزاء: 8 · 3 = 24.
الجواب: 24 عاملًا.
مَن يتخطّى خطوة التوحيد يحسب 45 · 2 / 5 = 18 ويقع في مشتت مُعَدّ سلفًا. الحدّ المشترك يجب أن يحمل القيمة نفسها في النسبتين قبل أيّ حساب.
مثال 3 · مستوى مرتفع
النسبة بين عدد الكتب على رفّين هي 7:4. نُقل 6 كتب من الرفّ الأوّل إلى الثاني، فأصبحت النسبة بينهما 5:6. كم كتابًا على الرفّين معًا؟
الحلّ. المفتاح هو تحويل النسبة إلى متغيّر: عدد الكتب على الرفّ الأوّل 7k وعلى الثاني 4k. النقل لا يغيّر المجموع، بل يطرح 6 من الأوّل ويضيفها إلى الثاني:
(7k - 6) / (4k + 6) = 5 / 6
بالضرب التبادلي: 6(7k - 6) = 5(4k + 6) → 42k - 36 = 20k + 30 → 22k = 66 → k = 3.
إذن الرفّ الأوّل 7 · 3 = 21 كتابًا والثاني 4 · 3 = 12 كتابًا، والمجموع 33.
فحص سريع. بعد النقل: 21 - 6 = 15 و12 + 6 = 18، والنسبة 15:18 = 5:6 - مطابقة للمعطى.
الجواب: 33 كتابًا.
انتبه إلى السطر الأخير من السؤال: المطلوب المجموع، لا حصّة رفّ. الإجابتان 21 و12 ستكونان حاضرتين بين المشتتات.
أخطاء شائعة
- جمع نسبتين حدًّا بحدّ. إذا كانت النسبة بين الأولاد والبنات في صفّ 1:2 وفي صفّ آخر 3:1، فالنسبة في الصفّين معًا ليست (1+3):(2+1) = 4:3. النسبة لا تحمل معلومة عن الحجم: لو كان الصفّ الأوّل 10 و20 والثاني 3 و1، لكان المجموع 13:21 - وهو بعيد تمامًا عن 4:3. لدمج نسبتين يجب أوّلًا تحويل كلّ منهما إلى أعداد فعليّة.
- الخلط بين الجزء والكلّ. في النسبة 3:5 يشكّل الطرف الأوّل 3/8 من المجموع، لا 3/5. الكسر 3/5 هو نسبته إلى الطرف الآخر فقط. مقام الحصّة هو مجموع الحدود دائمًا.
- إهمال ترتيب الطرفين. «النسبة بين X وY هي 2:7» ليست «النسبة بين Y وX هي 2:7». ضع خطًّا تحت المقدار المذكور أوّلًا في السؤال.
- تطبيق النسبة على المجموع حين يكون المعطى فرقًا. إذا قيل إنّ الفرق بين حصّتين بنسبة 7:3 هو 12، فإنّ 12 يقابل 7 - 3 = 4 أجزاء، فقيمة الجزء 3 - والمجموع 10 أجزاء أي 30. مَن يقسم 12 على 10 يبني المسألة كلّها على رقم خاطئ.
- الوحدات في مقياس الرسم. في مقياس 1:200,000 تقابل 7.5 سم على الخريطة 1,500,000 سم في الواقع - أي 15 كم لا 15,000. أنهِ الضرب أوّلًا بالوحدة الأصليّة، وحوّل في الخطوة الأخيرة فقط.
- معاملة الزيادة بنسبة مئوية كأنّها زيادة في حدّ النسبة. ضلع يزيد بنسبة 50% يُضرب في 1.5، وضلع ينقص بنسبة 25% يُضرب في 0.75؛ النسبة الجديدة تُحسب بعد الضرب، لا بجمع الأرقام إلى الحدود. تفصيل هذه الآليّة في درس النسب المئوية.
- التناسب العكسي في ثوب طردي. «كم يومًا يحتاج عدد أكبر من العمّال» ليس ضربًا بل قسمة. تحقّق من اتّجاه التغيّر قبل كتابة المعادلة.
استراتيجيات الحلّ
1. ابحث عن قيمة الجزء الواحد أوّلًا
قبل أن تقرأ ما هو المطلوب، اسأل: كم جزءًا في المسألة، وكم يساوي الجزء الواحد؟ في معظم أسئلة الباب، لحظة معرفة قيمة الجزء هي لحظة انتهاء المسألة عمليًّا - وما يبقى ضربة واحدة.
2. حوّل النسبة إلى متغيّر: ak وbk
هذه هي الأداة التي تحلّ الأسئلة الصعبة في الباب كلّها تقريبًا - كلّ سؤال تتغيّر فيه النسبة بعد إضافة أو نقل أو مرور سنوات. كتابة الطرفين 7k و4k تحوّل مسألة نسبة إلى معادلة بمجهول واحد، وهي حينئذ مسألة جبر عاديّة كما في درس عزل المتغيّر.
3. استعمل قابليّة القسمة لشطب إجابات
إذا كانت الكمّية مقسومة حسب 2:3:5، فكلّ حصّة مضاعف لقيمة الجزء، والمجموع يقبل القسمة على 10. عدد من الإجابات الأربع لا يجتاز هذا الفحص عادةً، وشطبه لا يكلّف ثانية.
4. وحّد الحدّ المشترك قبل أيّ حساب
في كلّ سؤال فيه نسبتان تتشاركان مقدارًا واحدًا، الخطوة الأولى ليست الحساب بل التوحيد. اكتب النسبة الثلاثيّة كاملة على الهامش، ثمّ ابدأ.
5. اربط الطرف المعلوم بعدد أجزائه
حين يُعطى مقدار واحد بقيمته العدديّة، اسأل: كم جزءًا يمثّل هذا المقدار؟ القسمة على عدد أجزائه - لا على مجموع الأجزاء - هي التي تعطي قيمة الجزء. هذه هي بالضبط النقطة التي يستهدفها أكثر من مشتت في السؤال.
6. اقرأ السطر الأخير قبل اختيار الإجابة
حصّة؟ فرق بين حصّتين؟ مجموع؟ عدد بعد التغيير أم قبله؟ مسائل النسبة تُحَلّ صحيحًا وتُجاب خطأً أكثر من غيرها، لأنّ كلّ القيم الوسيطة التي حسبتها في الطريق موجودة بين المشتتات. الفصل الكمّي 20 سؤالًا في 20 دقيقة، أي دقيقة واحدة وسطيًّا لكلّ سؤال - وثانيتان لإعادة قراءة المطلوب أرخص من سؤال ضائع.
من الدرس إلى التدريب
القراءة وحدها لا تبني السرعة. في تدريب النسب والتناسب 115 سؤالًا في هذا الموضوع بالذات، من تقسيم كمّية بسيط إلى مسائل تغيّر النسبة والخلائط والنسبة العكسيّة، وكلّ سؤال مرفق بشرح كامل يوضّح أيضًا مصدر كلّ إجابة خاطئة. التدريب مجانيّ بالكامل وبلا تسجيل.
ابدأ بالأسئلة السهلة حتّى تستقرّ خطوات «الجزء الواحد» تلقائيًّا، ثمّ انتقل إلى أسئلة المستوى المرتفع بأسلوب ak وbk. وحين تشعر أنّ الموضوع صار في يدك، اختبره تحت ضغط الوقت الحقيقيّ في المحاكاة الكاملة للامتحان، وراجع بنية الفصل ومواضيعه الأخرى في دليل الفصل الكمّي. الموضوعان الأقرب إلى هذا الباب هما النسب المئوية ومسائل الحركة - وكلاهما يعيد استعمال فكرة الجزء الواحد نفسها.