من بين مواضيع الهندسة في الفصل الكمّي في البسيخومتري، «المساحات غير المألوفة» هي الموضوع الذي يبدو الأصعب ويُعَدّ عمليًّا من الأسهل. سبب المظهر الصعب واضح: الشكل المرسوم لا يشبه أيّ شكل تعرف له قانونًا - مربّع قُطع منه ركن، دائرة داخل مربّع، منطقة مظلّلة بين شكلين. وسبب السهولة أوضح: هذه الأسئلة لا تُختبر فيها معرفتك بقانون جديد، بل قدرتك على رؤية الأشكال المعروفة المختبئة داخل الشكل الغريب. من يرى التفكيك يحلّ السؤال في نصف دقيقة؛ ومن يبحث عن «قانون الشكل» يضيّع دقيقتين ولا يجده - لأنّه غير موجود.
المفهوم: كلّ شكل غريب هو جمع أو طرح لأشكال معروفة
الفكرة كلّها في جملة واحدة: المساحة صفة تُجمَع وتُطرَح. إذا قُسِّمت منطقة إلى قطعتين لا تتداخلان، فمساحتها هي مجموع مساحتيهما؛ وإذا أُزيلت قطعة من داخل شكل، فما بقي هو مساحة الشكل ناقص مساحة القطعة. هذا كلّ ما تحتاجه، ومنه تتفرّع حالتان فقط:
- حالة الجمع (البناء). الشكل مركّب من أجزاء ملتصقة: مستطيل مع نصف دائرة ملحق بأحد أضلاعه، أو مستطيل مع مثلّث فوقه. تفصل الشكل بخطّ واحد إلى جزأين معروفين، وتجمع.
- حالة الطرح (الحفر). شكل كبير أُزيل من داخله شكل أصغر، والمطلوب هو الباقي أو المنطقة المظلّلة. تحسب الكبير، وتطرح منه كلّ ما هو مستبعَد.
القاعدة العمليّة للمنطقة المظلّلة، وهي أكثر صياغة تتكرّر في الامتحان:
S(shaded) = S(outer) − Σ S(removed)
وبالكلمات: المساحة المظلّلة = مساحة الشكل المحيط ناقص مجموع مساحات الأشكال البيضاء داخله. لاحظ الرمز «مجموع»: إذا كان داخل الشكل أكثر من قطعة بيضاء، تُطرَح كلّها - لا واحدة منها فقط.
وهناك حالة ثالثة أقلّ شيوعًا لكنّها تكسر السؤال الصعب: إعادة الترتيب. أحيانًا تكون القطع المظلّلة متناظرة، ويمكن «تحريكها» ذهنيًّا لتشكّل شكلًا معروفًا واحدًا. مثال نموذجيّ: أربعة أرباع دائرة متساوية، كلّ واحد في ركن من أركان مربّع - مجموعها هو دائرة كاملة واحدة، فلا داعي لحساب أربع مساحات على حدة.
القوانين التي تحتاجها فعلًا
كي تفكّك شكلًا إلى أشكال معروفة، عليك أوّلًا أن تعرف ما هي الأشكال «المعروفة». القائمة قصيرة، وأغلبها معطى لك في الامتحان نفسه: في مطلع كلّ فصل كمّي تظهر صفحة قوانين مرفقة برسوم توضيحيّة، وتشمل من بينها مساحة المثلّث ونظريّة فيثاغورس، مساحة المستطيل وشبه المنحرف، ومساحة الدائرة ومحيطها ومساحة القطاع الدائري.
| الشكل | المساحة | في صفحة القوانين المرفقة؟ |
|---|---|---|
| مربّع (ضلعه a) | a² | يُشتقّ من المستطيل |
| مستطيل (a×b) | a · b | نعم |
| مثلّث (قاعدة a، ارتفاع h) | (a · h) / 2 | نعم |
| مثلّث قائم الزاوية (ضلعان قائمان a، b) | (a · b) / 2 | حالة خاصّة من السابق |
| شبه منحرف (قاعدتان a، b وارتفاع h) | ((a + b) · h) / 2 | نعم |
| متوازي أضلاع (قاعدة a، ارتفاع h) | a · h | لا - يُشتقّ بسهولة |
| معيّن (قُطراه d₁، d₂) | (d₁ · d₂) / 2 | لا - يُشتقّ بسهولة |
| دائرة (نصف قطرها r) | π · r² | نعم |
| نصف دائرة | (π · r²) / 2 | حالة خاصّة من القطاع |
| ربع دائرة | (π · r²) / 4 | حالة خاصّة من القطاع |
| قطاع دائري (زاويته المركزيّة α) | π · r² · (α / 360) | نعم |
ثلاث ملاحظات على الجدول توفّر عليك أخطاء متكرّرة:
- القطاع الدائري هو الأمّ، ونصف الدائرة وربعها ابناها. بدل حفظ ثلاثة قوانين، احفظ واحدًا: القطاع هو π·r²·(α/360)، ونصف الدائرة هو الحالة α = 180 والربع هو α = 90.
- القانون يعمل بنصف القطر، والسؤال يعطي القطر. عبارة «نصف دائرة قطرها 6» تعني r = 3، ومساحتها (π·3²)/2 وليس (π·6²)/2. هذا الخطأ وحده مسؤول عن نصيب معتبر من الإجابات الخاطئة في هذا الموضوع، وهو غالبًا موجود جاهزًا بين المشتتات.
- ارتفاع المثلّث ليس بالضرورة ضلعًا فيه. في المثلّث القائم الزاوية فقط يكون الضلعان القائمان هما القاعدة والارتفاع؛ في غيره، الارتفاع عمود نازل قد يقع خارج المثلّث.
لمراجعة قوانين الدائرة نفسها - المحيط والمساحة والقطاع والوتر - راجع درس الدائرة والقطاع الدائري؛ وإذا كان السؤال يطلب نسبة بين مساحتين بدل قيمة عدديّة، فأنت في الحقيقة أمام سؤال نسب وتناسب بلباس هندسيّ.
استراتيجيّة الإكمال والطرح
«الإكمال» هو التقنية الأقوى في هذا الموضوع، ومعناها: بدل حساب الشكل الناقص، أكمِله إلى شكل كامل معروف ثم اطرح ما أضفته. مثال يوضّح الفكرة في سطر: شكل يتكوّن من مستطيل قُصّ من ركنه مربّع صغير. تستطيع تفكيكه إلى مستطيلين وجمعهما - أو تحسب المستطيل الكامل وتطرح المربّع الصغير، وهي خطوة واحدة بدل ثلاث.
الترتيب العمليّ الذي يعمل في كلّ سؤال تقريبًا:
- حدّد المطلوب بالضبط. اقرأ السطر الأخير: هل المطلوب المنطقة المظلّلة أم البيضاء؟ الكلّ أم الباقي؟ المساحة أم المحيط؟
- ارسم واكتب المعطيات على الرسم. ضع بجانب كلّ ضلع طوله، وبجانب كلّ دائرة نصف قطرها - نصف القطر، لا القطر، حتّى لو أعطاك السؤال القطر. حوِّل مرّة واحدة في البداية.
- سمِّ الشكل المحيط. ما هو أكبر شكل معروف يحتوي المنطقة كلّها؟ احسب مساحته.
- اجرد الأشكال المستبعَدة وعُدّها. اكتب قائمة قصيرة: مثلّث، دائرة… واحسب مساحة كلّ واحد ثمّ اجمعها.
- اطرح مرّة واحدة، ثمّ قارن بالإجابات. إذا ظهر π في الإجابات فاترك النتيجة رمزيّة؛ وإذا كانت الإجابات أعدادًا، استعمل تقريب π الذي أعطاه السؤال نفسه.
وقبل الحساب، افحص أمرين يختصران الطريق كثيرًا: هل هناك تناظر يسمح بضمّ قطع متفرّقة في شكل واحد؟ وهل تستطيع الشطب بالتقدير؟ المساحة المظلّلة أصغر بالضرورة من مساحة الشكل المحيط، فأيّ إجابة تساويها أو تتجاوزها تُشطَب فورًا - وفي كثير من الأسئلة يكفي هذا لإسقاط إجابتين قبل أن تبدأ.
ثلاثة أمثلة محلولة
مستطيل قُصّ من ركنه مربّع
المعطيات: مستطيل أبعاده 8 على 5. قُصّ من أحد أركانه مربّع طول ضلعه 2. ما مساحة الجزء المتبقّي؟
الحلّ: الشكل المحيط هو المستطيل الكامل، ومساحته 8 · 5 = 40. المستبعَد قطعة واحدة: مربّع مساحته 2² = 4. الباقي: 40 − 4 = 36.
الفكرة التي تبقى: لم يكن مطلوبًا معرفة شكل الحرف الناتج من القصّ ولا تسميته. المطلوب كان رؤية أنّ الشكل الغريب = مستطيل ناقص مربّع. ولاحظ أنّ موقع المربّع المقصوص - في هذا الركن أو ذاك - لا يغيّر الجواب إطلاقًا، فالمساحة المطروحة واحدة.
مربّع أُزيل منه ربع دائرة
المعطيات: مربّع طول ضلعه 6. أُزيل من داخله ربع دائرة مركزه أحد رؤوس المربّع ونصف قطره 6، أي أنّ ضلعَي المربّع الخارجَين من ذلك الرأس هما بالضبط نصفا قطر ربع الدائرة. ما مساحة المنطقة المظلّلة المتبقّية؟
الحلّ: مساحة المربّع: 6² = 36. ربع الدائرة قطاع زاويته المركزيّة 90 درجة، فمساحته π · 6² · (90/360) = (π · 36)/4 = 9π. المنطقة المظلّلة: 36 − 9π. وإذا طلب السؤال قيمة عدديّة بالتقريب π ≈ 3، فالنتيجة 36 − 27 = 9.
الفكرة التي تبقى: زاوية المربّع قائمة، ولذلك القطعة المزالة هي بالضبط ربع دائرة - لا نصفها ولا شيء آخر. ولاحظ أنّ نصف القطر هنا يساوي ضلع المربّع لأنّ السؤال نصّ على ذلك صراحةً، لا لأنّ الرسم يبدو كذلك. وقبل الحساب كان يمكن شطب أيّ إجابة تحتوي 36π أو أكبر من 36: المظلّل جزء من المربّع، فلا يمكن أن يتجاوز مساحته.
مستطيل أُزيل منه نصف دائرة ومثلّث
المعطيات: مستطيل أبعاده 12 على 5. أُزيل من داخله نصف دائرة قطرها 5 ملاصق لأحد ضلعيه القصيرين، وأُزيل أيضًا مثلّث قائم الزاوية ضلعاه القائمان 5 و4 في الجهة المقابلة. ما مساحة الجزء المتبقّي؟
الحلّ خطوة بخطوة:
- الشكل المحيط: 12 · 5 = 60.
- نصف الدائرة: قطرها 5، إذن r = 2.5، ومساحتها (π · 2.5²)/2 = (6.25π)/2 = 25π/8.
- المثلّث القائم الزاوية: (5 · 4)/2 = 10.
- الطرح مرّة واحدة: 60 − 25π/8 − 10 = 50 − 25π/8.
الفكرة التي تبقى: القطعتان المستبعَدتان لا تتداخلان - إحداهما ملاصقة لضلع والأخرى في الجهة المقابلة - ولذلك تُطرَحان كلتاهما ببساطة. لو كانتا متداخلتين لكان الطرح المباشر خطأً، لأنّك ستطرح منطقة التقاطع مرّتين. ولاحظ أيضًا أنّ الإجابات في هذا النمط تُعطى برمز π، فمحاولة تقريبه هنا تنتج عددًا لن تجده بين الإجابات.
أخطاء شائعة
- الخلط بين نصف القطر والقطر. الخطأ الأوّل في هذا الموضوع بلا منازع. «دائرة قطرها 6» تعني r = 3 ومساحتها 9π، لا 36π. العلاج: فور قراءة القطر، اكتب نصف القطر على الرسم واشطب القطر.
- الطرح المزدوج. يحدث في اتّجاهين. الأوّل: طرح المنطقة نفسها مرّتين لأنّها تنتمي إلى شكلين متداخلين مستبعَدين - إذا تداخل الشكلان المزالان، فمساحة الاتّحاد هي مجموعهما ناقص التقاطع. الثاني، وهو الأكثر شيوعًا: طرح الشكل الصغير ثمّ طرح النتيجة مرّة أخرى من الشكل الكبير. الحلّ في الترتيب: اجمع أوّلًا كلّ المساحات المستبعَدة، ثمّ اطرح المجموع مرّة واحدة فقط.
- نسيان قطعة مستبعَدة. حين تكون داخل الشكل ثلاث قطع بيضاء، من السهل طرح اثنتين. اجرد القطع بالأرقام قبل الحساب: «مستبعَد: 1، 2، 3» - وتأكّد أنّ عدد الحدود المطروحة يساوي عدد القطع.
- حساب المحيط بدل المساحة. السؤال يطلب مساحة المنطقة المظلّلة وأنت تجمع أطوالًا. وحدة المساحة مربّعة ووحدة المحيط طوليّة؛ إذا كانت نتيجتك من رتبة الأطوال في المعطيات، فهي على الأرجح محيط. تنبّه أيضًا إلى أنّ محيط الشكل المركّب ليس مجموع محيطي جزأيه - الأضلاع الداخليّة المشتركة لا تُحسَب.
- الاستنتاج من صورة الرسم. تنصّ الملاحظات العامّة الرسميّة في مطلع الفصل الكمّي على أنّ الرسومات ليست بالضرورة مرسومة بمقياس رسم، وأنّ الأطوال وقياس الزاوية تُؤخذ من المعطيات فقط. لا تفترض أنّ الدائرة تمسّ الضلع، ولا أنّ المثلّث متساوي الساقين، ما لم يُذكر ذلك نصًّا.
- ضرب π حين لا داعي لذلك. إذا كانت الإجابات تحتوي π، فكلّ تقريب تجريه خطوة زائدة تُبعدك عن صيغة الإجابة وتضيّع ثوانيَ ثمينة في فصل مدّته 20 دقيقة لعشرين سؤالًا.
- خلط الوحدات. حين يعطي السؤال بعدًا بالسنتيمترات وآخر بالمترات، وحّد الوحدات قبل الضرب. وتذكّر أنّ نسبة الطول تتربّع في المساحة: إذا كبر الضلع بمقدار الضعف، كبرت المساحة أربعة أضعاف.
استراتيجيّات للامتحان
- ابحث عن التناظر قبل الحساب. أربعة أرباع دائرة متساوية في أركان مربّع = دائرة كاملة واحدة. نصفا دائرة متطابقان على ضلعين متقابلين = دائرة كاملة. تجميع القطع يختصر أربع عمليّات إلى واحدة ويقلّل فرص الخطأ الحسابيّ.
- احسب بالرموز حتّى النهاية. اكتب 100 − 25π ولا تحوّلها إلى عدد عشريّ إلّا إذا كانت الإجابات أعدادًا. الصيغة الرمزيّة أسرع في المقارنة مع الإجابات وأدقّ.
- عوّض عددًا حين تكون المعطيات بالحروف. إذا كان ضلع المربّع x والإجابات بدلالة x، اختر x = 2 أو x = 10، احسب المساحة عدديًّا، ثمّ افحص أيّ إجابة تعطي القيمة نفسها. تجنّب x = 0 وx = 1 لأنّهما يجعلان تعابير مختلفة تتساوى صدفةً. الطريقة نفسها مشروحة في درس حلّ المعادلات.
- استعمل الحدّ الأعلى للشطب. المساحة المظلّلة أصغر من مساحة الشكل المحيط دائمًا، وأكبر من صفر. أيّ إجابة خارج هذا المجال تُشطَب بلا حساب - وأحيانًا يبقى بعدها احتمالان فقط.
- القياس المُهمَل غالبًا غير ضروريّ. إذا أعطاك السؤال معطًى لم تستعمله، فإمّا أنّك أغفلت قطعة، وإمّا أنّه مشتّت مقصود. راجع قائمة معطياتك قبل اختيار الإجابة.
- لا تتجاوز الدقيقة والنصف. إذا لم يتّضح التفكيك خلال دقيقة ونصف، ضع علامة وانتقل - العلامة الخام هي مجموع الإجابات الصحيحة، وسؤال سهل في نهاية الفصل يساوي بالضبط ما يساويه سؤال صعب في وسطه. راجع تفاصيل إدارة الوقت في دليل الفصل الكمّي.
تدرّب الآن
هذا الموضوع من أسرع مواضيع الهندسة تحسّنًا: بعد عشرة أسئلة تصبح رؤية التفكيك تلقائيّة تقريبًا. في تدريب المساحات غير المألوفة يوجد 100 سؤالًا في هذا الموضوع بالتحديد، وكلّ سؤال مرفق بشرح كامل يبيّن التفكيك خطوة بخطوة. التدريب مجّاني بالكامل، بدون تسجيل وبدون بطاقة اعتماد.
وحين تستقرّ نتائجك في الموضوع، انتقل إلى العمل تحت ضغط الوقت الحقيقيّ في محاكاة البسيخومتري الكاملة - هناك تظهر أسئلة المساحات مختلطة ببقيّة المواضيع كما في الامتحان نفسه، وهذا الاختلاط بالضبط هو ما يجب أن تتدرّب عليه. ولمراجعة الصورة الكاملة للفصل راجع دليل التفكير الكمّي، وللاطّلاع على بنك الأسئلة الكمّي الموسّع بالعبرية راجع صفحة التفكير الكمّي بالعبرية.