למה בעיות הספק הן בעיות תנועה בתחפושת
בבעיית תנועה יש קצב (מהירות), זמן ודרך: דרך = מהירות × זמן. בבעיית הספק יש קצב (הספק), זמן ועבודה: עבודה = הספק × זמן. ההבדל היחיד הוא שבדרך כלל העבודה כולה מסומנת "1" - בריכה אחת, קיר אחד - ולכן ההספק הוא שבר: מי שמסיים ב-6 שעות עושה 1/6 בשעה. במאגר שלנו 120 בעיות הספק - פועלים, ברזים, מכונות - וכולן נפתרות בארבעה כללים.
הכללים שהמבחן משתמש בהם
1. הספק הוא חלק העבודה ליחידת זמן
הספק = עבודה / זמן. פועל שמסיים עבודה ב-8 שעות: הספקו 1/8 לשעה, וב-3 שעות הוא עושה 3/8 מהעבודה. ובכיוון ההפוך: זמן = עבודה / הספק - מי שהספקו 1/5 מסיים עבודה שלמה ב-5 שעות, וחצי עבודה ב-2.5 שעות.
2. בעבודה משותפת מחברים הספקים
פועל א מסיים ב-a שעות, פועל ב ב-b שעות. יחד ההספק הוא 1/a + 1/b, והזמן המשותף הוא ההופכי: T = 1 / (1/a + 1/b) = ab / (a + b). עם 6 ו-3 שעות: 1/6 + 1/3 = 1/2 - יחד מסיימים בשעתיים. הזמן המשותף תמיד קטן מהזמן של המהיר ביותר - בדיקת סבירות של שנייה.
3. ברז מרוקן הוא הספק שלילי
ברז ממלא בריכה ב-4 שעות (+1/4), פתח מרוקן אותה ב-6 שעות (−1/6). יחד: 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 - הבריכה מתמלאת ב-12 שעות. אם המרוקן מהיר מהממלא, ההספק הכולל שלילי והבריכה לעולם לא תתמלא - תשובה לגיטימית במבחן.
4. יותר פועלים - פחות זמן, ביחס הפוך
אם 3 פועלים זהים מסיימים ב-12 ימים, ההספק של פועל אחד הוא 1/36 ליום, ו-4 פועלים מסיימים ב-36 / 4 = 9 ימים. הקיצור: פועלים × ימים קבוע כשהעבודה קבועה (3 × 12 = 4 × 9). כשהעבודה משתנה - "פי 2 עבודה" - מכפילים גם את המכפלה. ובעבודה בשלבים ("עבד לבד 2 שעות ואז הצטרף חבר") מחשבים כמה נעשה בכל שלב, ומה נשאר.
| המצב | ההספק המשותף | הזמן |
|---|---|---|
| שני פועלים, a ו-b שעות | 1/a + 1/b | ab / (a + b) |
| ברז ממלא a, פתח מרוקן b | 1/a − 1/b | ab / (b − a) אם b > a |
| k פועלים זהים, כל אחד a שעות | k / a | a / k |
| עבודה כפולה, אותם פועלים | ללא שינוי | פי 2 |
| עבודה בשלבים | לפי השלב | סכום זמני השלבים |
כשהמספרים לא נוחים לשברים, קבעו את גודל העבודה בעצמכם: בריכה של 12 ליטר (המכנה המשותף) הופכת את 1/4 ל-3 ליטר לשעה ואת 1/6 ל-2 ליטר לשעה. חיבור מספרים שלמים מהיר יותר מחיבור שברים, והתוצאה זהה.
2 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: קובעים בריכה של 12 יחידות. א: 12 / 3 = 4 לשעה, ב: 12 / 6 = 2 לשעה, הניקוז: −12 / 4 = −3 לשעה. יחד: 4 + 2 − 3 = 3 יחידות לשעה, ולכן 12 / 3 = 4 שעות. בשברים: 1/3 + 1/6 − 1/4 = 4/12 + 2/12 − 3/12 = 3/12 = 1/4 - הספק רבע בריכה לשעה, 4 שעות. המסיח "2" מחכה למי ששכח את הניקוז, ו"12" למי שחיבר את השעות.
פתרון: קיר של 30 יחידות: דן 3 לשעה, רון 2 לשעה. ב-4 שעות לבד דן צבע 12 יחידות, נשארו 18. יחד ההספק 3 + 2 = 5 לשעה, ולכן 18 / 5 = 3.6 שעות - 3 שעות ו-36 דקות. בדיקה: 12 + 5 × 3.6 = 30. נכון. שימו לב שהשאלה ביקשה את זמן העבודה המשותפת בלבד; המסיח "7.6" הוא הזמן הכולל.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- חיבור זמנים במקום הספקים. 6 שעות ו-3 שעות יחד אינם 9 ולא 4.5 - מחברים 1/6 + 1/3 ומקבלים שעתיים. הזמן המשותף תמיד קטן מהזמן של המהיר.
- ברז מרוקן עם סימן חיובי. ריקון מוריד מההספק. 1/4 − 1/6, לא 1/4 + 1/6.
- יחס ישר בין פועלים לזמן. יותר פועלים - פחות זמן. פועלים × זמן קבוע.
- שכחת מה נשאר. בעבודה בשלבים מחשבים מה נעשה בשלב הראשון ומחסירים מהעבודה כולה לפני שמחשבים את השלב השני.
- תשובה על השאלה הלא נכונה. "כמה זמן עבדו יחד" מול "כמה זמן נמשכה העבודה כולה" - שני מסיחים שונים, אותם חישובים.
איך לתרגל בעיות הספק נכון
התחילו משאלות הספק בודד ("איזה חלק ב-3 שעות"), עברו לשני גורמים יחד, הוסיפו גורם מרוקן, ורק אז שלבים ושינוי במספר הפועלים. בדף השאלות הפתורות יש בעיות הספק מהמאגר עם פתרון מלא גלוי, ובתרגול האינטראקטיבי מחכות כל 120 השאלות עם בדיקה מיידית. מי שמרגיש בנוח כאן יזהה את אותו מבנה בדיוק בבעיות תנועה - שם הקצב נקרא מהירות.
שאלות נפוצות
איך מחשבים כמה זמן ייקח לשני פועלים לסיים עבודה יחד?
מחברים את ההספקים, לא את הזמנים. פועל שמסיים ב-a שעות עושה 1 חלקי a מהעבודה בשעה, ולכן יחד ההספק הוא 1 חלקי a ועוד 1 חלקי b, והזמן המשותף הוא ההופכי - ab חלקי a ועוד b. למשל, 6 ו-3 שעות נותנים הספק של חצי עבודה לשעה, כלומר שעתיים יחד. הזמן המשותף תמיד קטן מהזמן של הפועל המהיר.
איך פותרים בעיית ברז ממלא וברז מרוקן?
הברז המרוקן מקבל הספק שלילי. ברז שממלא ב-4 שעות תורם רבע בריכה לשעה, ופתח שמרוקן ב-6 שעות מוריד שישית בריכה לשעה, ולכן ההספק הכולל הוא רבע פחות שישית - אחד חלקי 12 - והבריכה מתמלאת ב-12 שעות. אם המרוקן מהיר מהממלא, הבריכה לא תתמלא לעולם.
איך נמנעים מחיבור שברים בבעיות הספק?
קובעים לעבודה גודל נוח - המכנה המשותף של הזמנים. אם הזמנים הם 3, 6 ו-4 שעות, מגדירים בריכה של 12 יחידות: ההספקים הופכים ל-4, 2 ו-3 יחידות לשעה, ואפשר לחבר ולחסר מספרים שלמים. התוצאה זהה לחישוב בשברים, ורק מהירה ובטוחה יותר.