שאלות הנדסת המרחב לפסיכומטרי עם פתרון מלא לכל שאלה

התשובה הנכונה: א. נפח תיבה שווה למכפלת שלושת המימדים שלה: ‭3×4×6=72‬ סמ״ק. תשובה ב (‭108‬) היא שטח הפנים הכולל של התיבה: ‭2×(3×4+3×6+4×6)=2×(12+18+24)=108‬. תשובה ג (‭12‬) מתקבלת מהכפלת שני מימדים בלבד (‭3×4‬) ושכחת הגובה. תשובה ד (‭13‬) מתקבלת מחיבור שלושת המימדים (‭3+4+6‬) במקום הכפלתם.

התשובה הנכונה: ב. שטח פנים כולל של תיבה שווה ל-‭2×(אורך×רוחב + אורך×גובה + רוחב×גובה)‬: ‭2×(2×3+2×7+3×7)=2×(6+14+21)=2×41=82‬ סמ״ר. תשובה א (‭42‬) היא נפח התיבה (‭2×3×7=42‬) ולא שטח פניה. תשובה ג (‭41‬) מתקבלת משכחת ההכפלה הסופית ב-2. תשובה ד (‭48‬) מתקבלת מחישוב סכום כל 12 הצלעות של התיבה (‭4×(2+3+7)=48‬) במקום שטח הפנים.

התשובה הנכונה: ג. נפח קובייה שווה לצלע בחזקת שלוש: ‭5³=125‬ סמ״ק. תשובה א (‭150‬) היא שטח הפנים של הקובייה (‭6×5²=150‬). תשובה ב (‭25‬) מתקבלת מהעלאה בריבוע בלבד (‭5²‬) בלי הכפלה נוספת בצלע. תשובה ד (‭15‬) מתקבלת מהכפלה פשוטה (‭5×3‬) במקום העלאה בחזקת שלוש.

התשובה הנכונה: ד. שטח פנים כולל של קובייה שווה ל-‭6‬ כפול צלע בריבוע, כי לקובייה שש פאות ריבועיות שוות: כל פאה בשטח ‭4²=16‬ סמ״ר, ולכן שטח הפנים הכולל ‭6×16=96‬ סמ״ר. תשובה א (‭64‬) היא נפח הקובייה (‭4³=64‬) ולא שטח פניה. תשובה ב (‭16‬) היא שטח פאה בודדת בלבד, בלי הכפלה ב-6. תשובה ג (‭24‬) מתקבלת מהכפלת הצלע במספר הפאות (‭4×6=24‬) במקום הכפלת שטח הפאה במספרן.

התשובה הנכונה: א. נפח גליל שווה ל-π כפול רדיוס בריבוע כפול גובה: ‭π×3²×10=π×9×10=90π‬ סמ״ק. תשובה ב (‭30π‬) מתקבלת משכחת ריבוע הרדיוס (‭π×3×10‬ במקום ‭π×3²×10‬). תשובה ג (‭360π‬) מתקבלת משימוש בקוטר (‭6‬) במקום ברדיוס בעת ההעלאה בריבוע (‭π×6²×10=360π‬). תשובה ד (‭60π‬) היא שטח מעטפת הגליל (‭2×π×3×10=60π‬) ולא נפחו.

התשובה הנכונה: ב. שטח פני כדור שווה ל-‭4‬ כפול π כפול רדיוס בריבוע: ‭4×π×5²=4×π×25=100π‬ סמ״ר. תשובה א (‭25π‬) מתקבלת משכחת המקדם 4 (‭π×5²=25π‬). תשובה ג (‭50π‬) מתקבלת משימוש במקדם 2 במקום 4 (‭2×π×25=50π‬). תשובה ד (‭400π‬) מתקבלת משימוש בקוטר (‭10‬) במקום ברדיוס בעת ההעלאה בריבוע (‭4×π×10²=400π‬).

התשובה הנכונה: ג. שטח מעטפת גליל שווה ל-‭2‬ כפול π כפול רדיוס כפול גובה: ‭2×π×4×9=72π‬ סמ״ר. תשובה א (‭36π‬) מתקבלת משכחת המקדם 2 (‭π×4×9=36π‬). תשובה ב (‭104π‬) היא שטח הפנים הכולל של הגליל כולל שני הבסיסים העגולים: ‭72π+2×π×4²=72π+32π=104π‬ - לא זהה לשטח המעטפה בלבד שהשאלה מבקשת. תשובה ד (‭144π‬) מתקבלת משימוש בקוטר (‭8‬) במקום ברדיוס (‭2×π×8×9=144π‬).

התשובה הנכונה: ד. נפח חרוט שווה לשליש כפול π כפול רדיוס בריבוע כפול גובה: ‭(1/3)×π×6²×10=(1/3)×π×36×10=(1/3)×360π=120π‬ סמ״ק. תשובה א (‭360π‬) מתקבלת משכחת החלוקה בשליש - זו בעצם נוסחת נפח הגליל באותם מימדים, לא נפח החרוט. תשובה ב (‭40π‬) מתקבלת מחלוקת הרדיוס עצמו ב-3 לפני ההעלאה בריבוע, במקום חלוקת התוצאה הסופית: ‭π×(6/3)²×10=π×4×10=40π‬. תשובה ג (‭20π‬) מתקבלת משכחת ריבוע הרדיוס: ‭(1/3)×π×6×10=20π‬.

התשובה הנכונה: א. נפח כדור שווה ל-4/3 כפול π כפול רדיוס בחזקת שלוש: ‭(4/3)×π×6³=(4/3)×π×216=288π‬ סמ״ק. תשובה ב (‭216π‬) מתקבלת משכחת המקדם 4/3 (‭π×6³=216π‬). תשובה ג (‭144π‬) היא שטח פני הכדור (‭4×π×6²=144π‬) ולא נפחו. תשובה ד (‭48π‬) מתקבלת משימוש ברדיוס בריבוע במקום בחזקת שלוש: ‭(4/3)×π×6²=48π‬.

התשובה הנכונה: ב. מוצאים את האלכסון המרחבי בשני שלבים של משפט פיתגורס. שלב א: אלכסון הפאה (הריבוע שבבסיס הקובייה) שווה ל-‭√(4²+4²)=√32=4√2‬ ס״מ. שלב ב: האלכסון המרחבי הוא היתר של משולש שהניצבים שלו הם אלכסון הפאה והגובה: ‭√((4√2)²+4²)=√(32+16)=√48=4√3‬ ס״מ (זו בדיוק הנוסחה המקוצרת אלכסון מרחבי = צלע כפול שורש 3). תשובה א (‭4√2‬) היא אלכסון הפאה בלבד - השלב הראשון בפיתגורס, בלי הצעד השני שמוסיף את הגובה. תשובה ג (‭8‬) מתקבלת מטעות שמכפילה את אלכסון הפאה בעצמו כאילו הוא ניצב נוסף: ‭√((4√2)²+(4√2)²)=√64=8‬. תשובה ד (‭12‬) מתקבלת מהכפלה לינארית של הצלע ב-3 (‭4×3=12‬) במקום שימוש בפיתגורס.

התשובה הנכונה: ג. נפח המים קבוע בכל העברה בין כלים. נפח המים במכל המקורי: ‭20×15×12=3600‬ סמ״ק. שטח הבסיס של הכלי החדש: ‭10×10=100‬ סמ״ר, ולכן גובה המים בו שווה לנפח חלקי שטח הבסיס: ‭3600/100=36‬ ס״מ. תשובה א (‭12‬) נובעת מהנחה שגויה שהגובה נשאר זהה בין כלים שונים - אבל הגובה תלוי בשטח הבסיס של כל כלי, לא רק בנפח. תשובה ב (‭360‬) מתקבלת מחלוקת הנפח בצלע הכלי (‭10‬) בלבד, במקום בשטח הבסיס שלו (‭10²=100‬). תשובה ד (‭3‬) מתקבלת מחישוב נפח שגוי - שימוש בשטח בסיס המכל המקורי בלבד (‭20×15=300‬) בלי הכפלה בגובה, ואז חלוקה ב-‭100‬.

התשובה הנכונה: ד. כאשר צלע קובייה גדלה פי k, הנפח גדל פי k³ (ולא פי k), כי הנפח תלוי בשלושה מימדים בו-זמנית. כאן ‭k=3‬, ולכן הנפח גדל פי ‭3³=27‬: ‭8×27=216‬ סמ״ק. תשובה ג (‭27‬) היא מקדם הגידול עצמו, בלי הכפלתו בנפח המקורי. תשובה א (‭24‬) מתקבלת מהכפלת הנפח המקורי ב-3 בלבד (‭8×3=24‬), כאילו הנפח גדל באופן לינארי כמו הצלע. תשובה ב (‭72‬) מתקבלת מהכפלת הנפח המקורי במקדם ‭3²‬ (‭8×9=72‬), כאילו הנפח גדל כמו שטח (בריבוע) ולא כמו נפח (בחזקת שלוש).