למה אי-שוויונים הם משוואות עם מלכודת אחת
כל מה שיודעים על משוואות תקף גם לאי-שוויונים: מעבירים אגפים, מכנסים איברים, כופלים במכנה משותף. ההבדל היחיד הוא שהתשובה איננה מספר אלא תחום - ושכפל או חילוק במספר שלילי הופכים את כיוון הסימן. המבחן יודע שזו הטעות הנפוצה, ובונה עליה מסיחים. במאגר שלנו 208 שאלות אי-שוויונים ומערכות אי-שוויונים, ורובן נבדלות ממשוואה רק בצעד הזה.
הכללים שהמבחן משתמש בהם
1. חיבור וחיסור לא משנים את הסימן
2x + 3 > 7: מעבירים את 3 - 2x > 4 - ומחלקים ב-2 (חיובי) - x > 2. העברת אגפים, כינוס איברים ופתיחת סוגריים עובדים בדיוק כמו במשוואה. גם כפל וחילוק במספר חיובי משאירים את הסימן במקומו.
2. כפל או חילוק במספר שלילי הופכים את הסימן
−3x < 12: מחלקים ב-−3 והסימן מתהפך - x > −4. ההיגיון: 2 < 5, אבל −2 > −5. מי שלא רוצה לזכור את הכלל יכול להעביר את הנעלם לאגף שבו מקדמו חיובי: 0 < 12 + 3x, −12 < 3x, −4 < x - אותה תשובה, בלי היפוך.
3. מערכת אי-שוויונים: "וגם" ו"או"
x > 3 וגם x < 7: הפתרון הוא החיתוך - 3 < x < 7. x > 2 וגם x > 5: החיתוך הוא x > 5 - התנאי המחמיר מנצח. x < 2 וגם x > 5: אין חיתוך - אין פתרון. לעומת זאת x < 2 או x > 5 הוא איחוד של שני תחומים נפרדים. ציור ציר מספרים עם שתי הנקודות עונה על כל השאלות האלה בשנייה.
4. אי-שוויון כפול
−1 < 2x + 3 ≤ 9: מבצעים כל פעולה על שלושת החלקים - מחסירים 3: −4 < 2x ≤ 6, מחלקים ב-2: −2 < x ≤ 3. אם היינו מחלקים במספר שלילי, שני הסימנים היו מתהפכים יחד. שאלות "כמה מספרים שלמים מקיימים" מסתיימות בספירה בתחום: כאן −1, 0, 1, 2, 3 - חמישה, כולל ה-3 (סימן ≤) ולא כולל ה-−2 (סימן <).
| פעולה | מה קורה לסימן |
|---|---|
| חיבור או חיסור בשני האגפים | נשאר |
| כפל או חילוק במספר חיובי | נשאר |
| כפל או חילוק במספר שלילי | מתהפך |
| החלפת אגפים | מתהפך (3 < x הוא x > 3) |
| כפל בנעלם | לא ידוע - הסימן תלוי בסימן הנעלם. להימנע. |
בסיום כל אי-שוויון הציבו מספר אחד מתוך התחום שקיבלתם באי-השוויון המקורי. אם x > −4 - הציבו 0: −3 · 0 = 0 < 12. נכון. בדיקה של חמש שניות תופסת כל היפוך סימן שנשכח.
2 דוגמאות מודרכות עם פתרון מלא
פתרון: פותחים סוגריים: 5 − 2x + 2 ≥ 3x + 2, כלומר 7 − 2x ≥ 3x + 2. מעבירים את הנעלמים לצד שבו המקדם יוצא חיובי - ימינה: 7 − 2 ≥ 3x + 2x, 5 ≥ 5x, 1 ≥ x, כלומר x ≤ 1. בדיקה עם x = 0: 5 + 2 = 7 ≥ 2. נכון. מי שהעביר את 3x שמאלה קיבל −5x ≥ −5 וחייב להפוך את הסימן בחילוק ב-−5: x ≤ 1. אותה תשובה.
פתרון: הראשון: 3x < 15, x < 5. השני: 2x ≥ −6, x ≥ −3. "וגם" - החיתוך: −3 ≤ x < 5. השלמים בתחום: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 - שמונה מספרים. ה-−3 נכלל (≥), ה-5 לא (<). המסיח "9" מחכה למי שספר גם את 5, והמסיח "7" למי ששכח את האפס.
טעויות נפוצות ואיך להימנע מהן
- חילוק במספר שלילי בלי היפוך. −3x < 12 נותן x > −4, לא x < −4. פתרון עוקף: להעביר את הנעלם לצד שבו מקדמו חיובי.
- כפל בנעלם. ב-1 / x > 2 אסור לכפול ב-x בלי לדעת את סימנו. מפצלים למקרים או מציבים תשובות.
- "וגם" כמו "או". "וגם" הוא חיתוך (התנאי המחמיר), "או" הוא איחוד. x > 2 וגם x > 5 הוא x > 5 בלבד.
- קצוות התחום. ≤ כולל את הקצה, < לא. בספירת שלמים זה בדיוק ההבדל בין התשובה למסיח הסמוך.
- פעולה על שני חלקים מתוך שלושה. באי-שוויון כפול כל פעולה חלה על שלושת החלקים, כולל האמצע.
איך לתרגל אי-שוויונים נכון
התחילו מאי-שוויונים לינאריים עם מקדם חיובי (הם משוואות לכל דבר), עברו לאי-שוויונים שבהם המקדם יוצא שלילי, ואז למערכות ולספירת שלמים בתחום. בדף השאלות הפתורות יש שאלות אי-שוויונים מהמאגר עם פתרון מלא גלוי, ובתרגול האינטראקטיבי מחכות כל 208 השאלות עם בדיקה מיידית. ההמשך הטבעי הוא ערך מוחלט - אי-שוויון עם ערך מוחלט הוא אי-שוויון כפול בתחפושת.
שאלות נפוצות
מתי הופכים את סימן אי-השוויון?
רק כשכופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי, וכן כשמחליפים בין האגפים. חיבור, חיסור, כפל וחילוק במספר חיובי משאירים את הסימן במקומו. למשל, מינוס 3x קטן מ-12 נותן אחרי חילוק במינוס 3 את x גדול ממינוס 4. אפשר להימנע מההיפוך לגמרי אם מעבירים את הנעלם לאגף שבו מקדמו חיובי.
איך פותרים מערכת של שני אי-שוויונים עם נעלם אחד?
פותרים כל אי-שוויון בנפרד, ואז משלבים לפי המילה שמחברת ביניהם. "וגם" פירושו חיתוך - רק הערכים שמקיימים את שני התנאים, כלומר התנאי המחמיר מנצח, ואם התחומים לא נפגשים אין פתרון. "או" פירושו איחוד - כל ערך שמקיים לפחות אחד מהם. ציור ציר מספרים עם שתי הנקודות מראה את התשובה מיד.
איך סופרים כמה מספרים שלמים מקיימים אי-שוויון?
מביאים את אי-השוויון לצורה של תחום, למשל מינוס 3 קטן או שווה x קטן מ-5, ובודקים את הקצוות: סימן קטן-או-שווה כולל את הקצה, סימן קטן אינו כולל. כאן השלמים הם מינוס 3 עד 4 - שמונה מספרים, כולל האפס. הטעויות השכיחות הן לספור קצה שאינו כלול ולשכוח את האפס.