חשיבה כמותית · גאומטריה אנליטית
שאלות מערכת צירים לפסיכומטרי עם פתרון מלא לכל שאלה
הוראות לנבחן
בעמוד 12 שאלות מערכת צירים מהמאגר שלנו, מדורגות מהקל למורכב, ולכל שאלה פתרון שלב-אחר-שלב. כל השאלות מנוסחות בקואורדינטות בלבד, בלי צורך בשרטוט - בדיוק כפי שהן נפתרות בפועל בפרק הכמותי. עברו על השאלות לפי הסדר כדי לראות את כל הווריאציות הנפוצות: מרחק בין נקודות, אמצע קטע, שיפוע, משוואת ישר וישרים מאונכים, ושטחים על מערכת הצירים.
בקצרה
12 שאלות מערכת צירים לדוגמה, כל אחת עם פתרון מלא. הן חלק ממאגר של 112 שאלות מערכת צירים באתר, בתוך מאגר הכמותי הכולל של 7,842 שאלות. רמות קושי 1-5, כאן בעיקר 1-4.
112
שאלות מערכת צירים במאגר
עודכן: אוגוסט 2026
שאלות מערכת צירים בפסיכומטרי — מה חוזר שוב ושוב
מערכת צירים (גאומטריה אנליטית) הוא נושא שמשלב גאומטריה ואלגברה, ובפרק הכמותי הוא מופיע כמעט תמיד בלי שרטוט - רק קואורדינטות של נקודות במלל או משוואת ישר. רוב השאלות נשענות על ארבע נוסחאות ליבה: מרחק בין שתי נקודות (הנגזר ממשפט פיתגורס), אמצע קטע, שיפוע ישר, ומשוואת הישר בצורה y=mx+n. 12 השאלות שבעמוד הזה בנויות סביב ארבע הנוסחאות האלה, מהפשוטות ביותר ועד שילובים מורכבים יותר.
כשלשתי הנקודות יש אותו ערך x או אותו ערך y, המרחק ביניהן הוא פשוט ההפרש בקואורדינטה השונה - בלי צורך בנוסחת המרחק המלאה. אבל כשהנקודות כלליות ולא נמצאות על אותו קו אופקי או אנכי, חייבים להשתמש בנוסחה d=√(Δx²+Δy²), שהיא בעצם משפט פיתגורס על המשולש שנוצר מההפרשים בין הקואורדינטות.
תת-נושא חשוב הוא הקשר בין שיפוע למשוואת הישר: משוואת ישר בצורה y=mx+n כוללת את השיפוע m ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-y (הפרמטר n). ישרים מקבילים חולקים אותו שיפוע, וישרים מאונכים - שיפוע שהוא הנגדי-ההופכי אחד של השני. שאלות ברמה הגבוהה בעמוד הזה משלבות בין הנוסחאות: מוצאים משוואת ישר משתי נקודות, בונים ישר מאונך לישר נתון, או מחשבים שטח והיקף של משולש שנוצר מנקודות או מחיתוך ישר עם הצירים.
12 שאלות מערכת צירים עם פתרונות מלאים
שאלה 1מערכת צירים · רמה 1/5
הנקודות A(2,3) ו-B(9,3) נמצאות במערכת הצירים. מהו המרחק ביניהן?
- א. 11
- ב. 9
- ג. 2
- ד. 7
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ד. לשתי הנקודות אותו ערך y, ולכן המרחק ביניהן הוא ההפרש בין ערכי ה-x בלבד: |9-2|=7.
שאלה 2מערכת צירים · רמה 1/5
הנקודות A(4,1) ו-B(4,9) נמצאות במערכת הצירים. מהו המרחק ביניהן?
- א. 8
- ב. 10
- ג. 4
- ד. 1
הצג פתרון
התשובה הנכונה: א. לשתי הנקודות אותו ערך x, ולכן המרחק ביניהן הוא ההפרש בין ערכי ה-y בלבד: |9-1|=8.
שאלה 3מערכת צירים · רמה 2/5
מהי הנקודה שהיא אמצע הקטע שבין A(2,4) ל-B(8,10)?
- א. (10,14)
- ב. (5,7)
- ג. (7,5)
- ד. (5,6)
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. נוסחת אמצע קטע: ממוצע ערכי ה-x וממוצע ערכי ה-y בנפרד. x=(2+8)/2=5; y=(4+10)/2=7. אמצע הקטע הוא (5,7).
שאלה 4מערכת צירים · רמה 2/5
מהו שיפוע הישר העובר דרך הנקודות A(1,2) ו-B(4,8)?
- א. 3
- ב. 6
- ג. 2
- ד. 1/2
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. נוסחת שיפוע: הפרש ה-y חלקי הפרש ה-x. m=(8-2)/(4-1)=6/3=2.
שאלה 5מערכת צירים · רמה 2/5
מהי הנקודה שהיא אמצע הקטע שבין A(-3,5) ל-B(7,-1)?
- א. (2,2)
- ב. (4,4)
- ג. (-5,3)
- ד. (2,-2)
הצג פתרון
התשובה הנכונה: א. x=(-3+7)/2=4/2=2; y=(5+(-1))/2=4/2=2. אמצע הקטע הוא (2,2).
שאלה 6מערכת צירים · רמה 3/5
ישר עובר דרך הנקודות A(1,5) ו-B(3,9). באיזו נקודה הישר חותך את ציר ה-y?
- א. (0,5)
- ב. (0,3)
- ג. (0,2)
- ד. (0,7)
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. שיפוע: m=(9-5)/(3-1)=4/2=2. מציבים את הנקודה A במשוואה y=mx+n: 5=2×1+n, ולכן n=3. הישר חותך את ציר ה-y בנקודה (0,3).
שאלה 7מערכת צירים · רמה 3/5
מהו המרחק בין הנקודות A(-2,-3) ו-B(4,5)?
- א. 14
- ב. 8
- ג. 6
- ד. 10
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ד. נוסחת המרחק: d=√(Δx²+Δy²). Δx=4-(-2)=6; Δy=5-(-3)=8. d=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10.
שאלה 8מערכת צירים · רמה 3/5
משולש נתון עם הקודקודים O(0,0), A(6,0) ו-B(0,4). מהו שטח המשולש?
- א. 24
- ב. 10
- ג. 12
- ד. 20
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. המשולש ניצב בראשית הצירים, כשהניצבים נמצאים על הצירים: אורך OA=6, אורך OB=4. שטח =(6×4)/2=12.
שאלה 9מערכת צירים · רמה 4/5
ישר נתון במשוואה y=-3x+6. מהו שטח המשולש שהישר יוצר עם שני הצירים?
- א. 6
- ב. 12
- ג. 18
- ד. 3
הצג פתרון
התשובה הנכונה: א. חיתוך עם ציר x: מציבים y=0: 0=-3x+6 ⇒ x=2. חיתוך עם ציר y: מציבים x=0: y=6. שטח המשולש =(2×6)/2=6.
שאלה 10מערכת צירים · רמה 4/5
הנקודה M(5,1) היא אמצע הקטע AB, כאשר A(3,-2). מהן הקואורדינטות של הנקודה B?
- א. (2,3)
- ב. (10,2)
- ג. (7,4)
- ד. (7,-4)
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ג. מנוסחת אמצע קטע, B=2M-A בכל קואורדינטה בנפרד: xB=2×5-3=7; yB=2×1-(-2)=2+2=4. הנקודה B היא (7,4).
שאלה 11מערכת צירים · רמה 4/5
ישר L₁ נתון על ידי y=2x+1. ישר L₂ מאונך ל-L₁ ועובר דרך הנקודה (4,3). באיזו נקודה L₂ חותך את ציר ה-y?
- א. (0,3)
- ב. (0,5)
- ג. (0,1)
- ד. (0,-5)
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ב. שיפוע ישר מאונך הוא הנגדי-ההופכי לשיפוע הישר הנתון: מ-m₁=2 מקבלים m₂=-1/2. מציבים את הנקודה (4,3): y-3=-1/2(x-4) ⇒ y=-1/2x+5. הישר חותך את ציר ה-y בנקודה (0,5).
שאלה 12מערכת צירים · רמה 5/5
משולש ABC נתון עם הקודקודים A(1,1), B(5,1) ו-C(1,4). מהו היקף המשולש?
- א. 9
- ב. 14
- ג. 20
- ד. 12
הצג פתרון
התשובה הנכונה: ד. הצלע AB אופקית (אותו y): אורכה |5-1|=4. הצלע AC אנכית (אותו x): אורכה |4-1|=3. הצלע BC לפי נוסחת המרחק: Δx=5-1=4, Δy=1-4=-3, BC=√(4²+(-3)²)=√25=5. היקף המשולש =4+3+5=12.
איך ניגשים לשאלת מערכת צירים
- לפני שמפעילים נוסחה, בדקו אם שתי הנקודות חולקות ערך x משותף או ערך y משותף - אם כן, המרחק ביניהן הוא פשוט ההפרש בקואורדינטה השונה, בלי צורך בנוסחת המרחק המלאה.
- בנוסחת אמצע קטע ובנוסחת המרחק תמיד מחשבים כל קואורדינטה (x ו-y) בנפרד, ורק אחר כך משלבים - חישוב מעורב בין x ל-y הוא הטעות הנפוצה ביותר בשאלות מהסוג הזה.
- כדי למצוא משוואת ישר משתי נקודות, קודם מחשבים שיפוע (הפרש ה-y חלקי הפרש ה-x), ורק אחר כך מציבים נקודה אחת במשוואה y=mx+n כדי לפתור ולמצוא את n.
- שיפוע ישר מאונך הוא הנגדי-ההופכי לשיפוע הישר המקורי - אם השיפוע הנתון הוא 2, השיפוע המאונך הוא -1/2 - ושכחת סימן המינוס היא טעות שכיחה בשאלות עם ישרים מאונכים.
- בשאלות שטח והיקף על מערכת צירים, אם צלעות המשולש מקבילות לצירים (אופקיות או אנכיות) אפשר לחשב את אורכן ישירות מהפרש הקואורדינטות, ורק לצלע האלכסונית צריך את נוסחת המרחק המלאה.
מה הלאה - מתרגול בדף לתרגול אינטראקטיבי
הפתרונות בדף הזה טובים ללמידה ראשונה, אבל את הביטחון בונים בתרגול עם משוב: בעמוד התרגול האינטראקטיבי מחכות כל 112 שאלות מערכת הצירים שבמאגר, עם בדיקה מיידית, הסבר לכל שאלה ומעקב טעויות אישי. אפשר גם לחזור על התיאוריה של מערכת צירים לפני שמתחילים, או לקפוץ ישר לסימולציה מלאה בתנאי אמת.
שאלות נפוצות
כמה שאלות מערכת צירים יש בפסיכומטרי?
במאגר שלנו יש 112 שאלות בנושא מערכת צירים לתרגול, בכל רמות הקושי. במבחן האמיתי מספר השאלות בנושא משתנה בין מועדים ותלוי בהרכב הפרק הכמותי הספציפי שיצא לכם.
איך מחשבים את המרחק בין שתי נקודות במערכת צירים?
משתמשים בנוסחת המרחק שנגזרת ממשפט פיתגורס: מחשבים את הפרש ה-x (Δx) ואת הפרש ה-y (Δy) בין הנקודות, מעלים כל אחד מהם בריבוע, מחברים את התוצאות, ולוקחים שורש ריבועי מהסכום.
מה ההבדל בין נוסחת אמצע קטע לנוסחת שיפוע?
אמצע קטע הוא ממוצע הקואורדינטות של שתי הנקודות בנפרד - ממוצע ערכי ה-x וממוצע ערכי ה-y - והתוצאה היא נקודה. שיפוע הוא היחס בין הפרש ה-y להפרש ה-x בין שתי הנקודות, והתוצאה היא מספר יחיד שמתאר את התלילות של הישר.
איך מוצאים את משוואת הישר כשנתונות שתי נקודות עליו?
קודם מחשבים את השיפוע לפי הפרש ה-y חלקי הפרש ה-x בין שתי הנקודות, ואז מציבים את השיפוע ואת קואורדינטות אחת הנקודות במשוואה y=mx+n כדי לפתור ולמצוא את n, נקודת החיתוך עם ציר ה-y.