GMAT Probability - הסתברות ללא תשלום
נושא חוזר בפרק הכמותי · קריטי לציון גבוה

GMAT Probability - הסתברות

הסתברות היא הנושא שמפריד בין פותרים סבירים לבין מצוינים. נוסחת היסוד פשוטה - favorable/total - אבל זיהוי האם להכפיל או לחבר, להשתמש במשלים או לספור ישירות, ולהבחין בין אירועים תלויים לבלתי תלויים - זה מה שיוצר את הפער.

למה Probability חשובה ב-GMAT

במבחן ה-GMAT Focus Edition מופיעות בערך 1-2 שאלות הסתברות בסימולציה, אבל הן נוטות להיות בקושי 650-750. מי שמיומן באלה, צובר ביטחון לעלייה ברמת הקושי הכוללת. מי שמתעלם - מבזבז עד 2-3 שאלות במבחן.

הסיבה לחשיבותן: הסתברות בודקת חשיבה ספירתית - היכולת לזהות אילו תרחישים נספרים בעד ואילו נגד. זה לא נושא של נוסחאות בלבד; זה נושא של מודלים מנטליים.

תובנה מרכזית: בכל שאלת הסתברות, השאלה הראשונה היא "האם זה אירוע אחד או רצף?". אם רצף - האם בלתי תלויים? אם כן - מכפיל. אם תלויים - עדכן את ה-total בכל שלב.

הנוסחאות שאתה חייב לדעת בעל פה

1. הסתברות יסודית
P(A) = Favorable / Total
תמיד בין 0 ל-1. אם קיבלת 1.2 או −0.3 - יש שגיאה.
2. AND - אירועים בלתי תלויים
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
תקף רק אם אירוע אחד לא משפיע על השני. הטלת קובייה ומטבע - בלתי תלויים.
3. OR - חיבור עם חיסור חפיפה
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
לאירועים זרים (mutually exclusive), P(A∩B)=0 והנוסחה מצטמצמת לחיבור פשוט.
4. משלים - "לפחות אחד"
P(at least one) = 1 − P(none)
הטריק החזק ביותר ב-GMAT. במקום לספור 5 מקרים, סופרים את המקרה היחיד ה"שלילי".
5. הסתברות מותנית
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
ההסתברות ש-A קורה בהינתן ש-B כבר קרה. שונה מ-P(A) הרגילה.
6. ללא החזרה
P(2nd | 1st) uses updated denominator
אם הוצאת כדור משק של 10 - בשלב הבא יש 9. ההסתברות משתנה כי גם המונה (אולי) וגם המכנה השתנו.
טיפ זיכרון: כשרואים בשאלה את המילה "at least" - אוטומטית חישבו את ההסתברות של "none" וחסרו מ-1. זה חוסך פעמים רבות שורות של חישובים.

3 דוגמאות פתורות - מהקל אל הקשה

דוגמה 1 · קלה · הסתברות יסודית
A quality-control bin contains 24 newly manufactured sensors. Of these, 18 pass inspection and 6 are faulty. If an inspector picks one sensor at random, what is the probability that it is faulty?

פתרון:

  1. מקרי הצלחה (פגום) = 6.
  2. סך מקרים = 24.
  3. P = 6/24 = 1/4.
תשובה: 1/4 (או 25%). שאלה בסיסית - וודא שאתה לא מבלבל בין "פגום" ל"תקין". קריאה מהירה היא מקור טעויות כאן.
דוגמה 2 · בינונית · משלים + אירועים בלתי תלויים
A 5-day weather forecast predicts a 30% chance of rain on each day independently. What is the probability that it rains on at least one of the 5 days?

פתרון:

  1. "לפחות אחד" - השתמש במשלים. P(אף יום לא גשם) = ?
  2. הסתברות שלא יורד גשם ביום בודד: 1 − 0.30 = 0.70.
  3. 5 ימים בלתי תלויים: P(אף יום) = 0.705.
  4. 0.75 = 0.72 × 0.72 × 0.7 = 0.49 × 0.49 × 0.7 ≈ 0.1681.
  5. P(לפחות אחד) = 1 − 0.1681 ≈ 0.832 = 83.2%.
תשובה: כ-83.2%. שים לב כמה כוח יש בטריק המשלים. נסה לספור ישירות - תצטרך לסכום הסתברויות של "גשם בדיוק יום אחד" + "בדיוק יומיים" + ... + "כל החמישה". שורות של חישובים, יותר חשיפה לטעויות.
דוגמה 3 · קשה · ללא החזרה + שילוב סוגים
A lottery scratch booklet contains 30 tickets: 4 are winners and 26 are losers. A buyer purchases 3 tickets at random without replacement. What is the probability that exactly 2 of them are winners?

פתרון:

  1. ספור ישירות באמצעות צירופים. סך דרכים לבחור 3 מתוך 30: C(30,3) = 30·29·28/(3·2·1) = 4060.
  2. דרכים לבחור 2 זוכים מתוך 4 ו-1 מפסיד מתוך 26: C(4,2) × C(26,1) = 6 × 26 = 156.
  3. P = 156 / 4060.
  4. צמצום: 156/4060 = 78/2030 = 39/1015. השבר 39/1015 כבר מצומצם (gcd=1): 156/4060 ≈ 0.0384 ≈ 3.84%.
תשובה: ≈ 3.84% (או 156/4060). חלופה ללא צירופים: P(W·W·L) = (4/30)·(3/29)·(26/28), כפול 3 לסידורים (WWL, WLW, LWW) = 3 · (4·3·26)/(30·29·28) = 936/24360 ≈ 0.0384. אותה תשובה.

5 מלכודות נפוצות שיוצרות 70% מהטעויות

  1. שכחה לחסר את החפיפה ב-OR. אם 60% מהמועמדים יודעים אנגלית ו-40% יודעים ספרדית, ההסתברות לידיעה של אחת מהשפות אינה 100% - היא 60% + 40% − P(שתיהן). אם 20% יודעים שתיהן, התשובה היא 80%.
  2. הנחה של אי-תלות כשאין. "מה ההסתברות לקבל 2 קלפים אדומים ברצף מחבילה?" - אם החפיסה לא מערבבת מחדש, האירועים תלויים. P = (26/52) × (25/51), לא (26/52)2.
  3. הזנחת הסידורים השונים. "מה ההסתברות לקבל בדיוק 2 פרצופים בהטלת מטבע 3 פעמים?" - לא רק (1/2)3. יש 3 סידורים אפשריים (HHT, HTH, THH), אז P = 3 × (1/2)3 = 3/8.
  4. בלבול בין "בדיוק" ל"לפחות". "לפחות 2 פגומים מתוך 5" כולל מקרים של 2, 3, 4, ו-5 פגומים. "בדיוק 2 פגומים" כולל רק את 2. הבדל מהותי בחישוב.
  5. שכחה לעדכן את ה-total ללא החזרה. "ארבעה קלפים, בלי החזרה - מה ההסתברות שכל הארבעה אדומים?" - אסור לכתוב (26/52)4. נכון: (26/52)·(25/51)·(24/50)·(23/49). כל שלב מעדכן את שני המספרים.

טבלת התרחישים - בחר את הגישה

סוג השאלהנוסחה / גישהמילות מפתח
הסתברות יחידהfavorable/total"randomly chosen"
שני אירועים בלתי תלויים - שניהםP(A) × P(B)"both happen", "and"
שני אירועים - אחד מהםP(A) + P(B) − P(A∩B)"either", "or"
אירועים זרים - אחד מהםP(A) + P(B)"mutually exclusive"
"לפחות אחד"1 − P(none)"at least one"
"אף פעם לא"P(fail)n"none of the trials"
"בדיוק k מתוך n"C(n,k) × pk × (1−p)n−k"exactly k"
ללא החזרהעדכן total בכל שלב"without replacement"
הסתברות מותניתP(A|B) = P(A∩B)/P(B)"given that"
סידורים שונים נספרים בנפרדהכפל ב-C(n,k)"in any order"
טריק זהב: כשהשאלה אומרת "in any order" או "at least", זו רמיזה שדרושה גישה ספירתית - או טריק המשלים, או צירופים. כששואלים על רצף ספציפי ("first red, then blue, then green"), פשוט מכפילים ישירות.

תרגיל 2-דקות - חימום מנטלי

  1. בכד 5 ירוקים ו-3 אדומים. מה ההסתברות להוציא ירוק?
  2. הטל קובייה פעמיים. מה ההסתברות לקבל 6 בשתי ההטלות?
  3. 4 כדורים בכד: 2 לבנים, 2 שחורים. הוצא 2 ללא החזרה. מה הסיכוי ששניהם לבנים?
  4. 3 ניסיונות עצמאיים, הצלחה ב-20%. מה הסיכוי לפחות להצלחה אחת?
  5. בכד 10 כדורים: 4 אדומים, 6 כחולים. הוצא 2 ללא החזרה. מה הסיכוי לאחד מכל צבע?
לחץ לתשובות
תשובות: (1) 5/8.   (2) (1/6)·(1/6) = 1/36.   (3) (2/4)·(1/3) = 1/6.   (4) 1 − 0.83 = 1 − 0.512 = 0.488 (כ-48.8%).   (5) שני סידורים: (4/10)(6/9) + (6/10)(4/9) = 24/90 + 24/90 = 48/90 = 8/15.

צעד הבא - תרגול תחת לחץ זמן

הנוסחאות אצלך. הסימולציה החינמית של mivchan.co.il מציעה בנק שאלות הסתברות בקצב 1:50 לשאלה - כולל וריאציות של ללא החזרה, אירועים מותנים, וטריק המשלים.

תרגול Probability התחל סימולציית Quant

לא יודעים מאיפה להתחיל? בנו תוכנית לימוד אישית (4-16 שבועות)

מדריכים קשורים

GMAT Quant - סקירה כללית Combinatorics - צירופים Percentages - אחוזים Mixtures - בעיות ערבוב Data Insights GMAT - מדריך ראשי
הבהרה: mivchan.co.il אינו מסונף ל-GMAC (Graduate Management Admission Council), הגוף המנהל את מבחן ה-GMAT. כל השאלות והדוגמאות באתר נכתבו במקור על ידי הצוות שלנו ואינן נגזרות מ-Official Guide, Manhattan Prep, Magoosh, או כל מקור צד ג'.