GMAT Mixture Problems - בעיות ערבוב ללא תשלום
נושא נפוץ · קלאסיקה של רמות 650-750

GMAT Mixture Problems - בעיות ערבוב

בעיות ערבוב נתפסות כקשות, אבל בפועל מדובר ביישום ישיר של ממוצע משוקלל. אם תפנים שני עקרונות - "הריכוז הוא ממוצע משוקלל לפי נפח" ו"רכיב משתמר חוזר על עצמו במשוואה" - תפתור גם את השאלות הקשות ב-90 שניות.

למה Mixture Problems חשובות ב-GMAT

במבחן ה-GMAT Focus Edition מופיעות 1-2 שאלות mixture בסימולציה. הן יכולות להופיע מרמות 600 (ערבוב פשוט של שני נפחים) ועד 750 (החלפת חלק מהתמיסה ב-X, ערבוב 3 חומרים, או מציאת היחס הדרוש).

הסיבה לחשיבותן: זהו נושא שמשלב מספר מיומנויות בו-זמנית - אחוזים, ממוצע משוקלל, יחסים, ולעיתים גם חישוב מהיר של שברים. תלמיד טוב במיומנויות בודדות יכול לקרוס בשאלת mixture אם הוא לא בונה מסגרת מסודרת.

תובנה אסטרטגית: בשאלת mixture, השאלה הראשונה שתשאל את עצמך היא: "מה משתנה ומה לא?" אם מוסיפים מים - החומר הפעיל משתמר. אם מחליפים נפח - המסגרת הכוללת קבועה.

הנוסחאות שאתה חייב לדעת בעל פה

1. מטריצת הערבוב - נוסחת היסוד
V₁·C₁ + V₂·C₂ = (V₁+V₂)·C_mix
הצד השמאלי = סך החומר הטהור משתי תמיסות. הצד הימני = סך החומר בתערובת. שוויון מובטח.
2. ריכוז סופי
C_mix = (V₁·C₁ + V₂·C₂) / (V₁+V₂)
ממוצע משוקלל. הריכוז הסופי תמיד בין שני הריכוזים. אם יצא מחוץ לטווח - יש שגיאה.
3. הוספת מים (ריכוז 0%)
V₁·C₁ = (V₁+W)·C_new
מים תורמים נפח אבל לא חומר טהור. החומר הטהור משמאל לא משתנה אחרי ההוספה.
4. הוספת חומר טהור (ריכוז 100%)
V₁·C₁ + P = (V₁+P)·C_new
P מ״ל של חומר טהור תורמים P מ״ל למסה הטהורה וגם לנפח. שני האגפים גדלים.
5. החלפת חלק מהתמיסה
C_new = C_old · (1 − R/V)
אם מסירים R מ״ל ממיכל V מ״ל ומחליפים במים, הריכוז יורד ביחס (1−R/V). חוזרים על התהליך n פעמים → ביחס (1−R/V)n.
6. מגלה היחס (Alligation)
V₁ / V₂ = (C₂ − C_mix) / (C_mix − C₁)
המרחק מהריכוז הסופי לכל ריכוז התחלתי קובע את היחס ההפוך של הנפחים. שיטה גרפית מהירה מאוד.
טיפ זיכרון: תמיד בנה טבלה: שורה לכל תמיסה, עמודות נפח / ריכוז / כמות חומר טהור. הטבלה מצמצמת משמעותית את השגיאות.

3 דוגמאות פתורות - מהקל אל הקשה

דוגמה 1 · קלה · ערבוב שתי תמיסות
A barista mixes 300 mL of a coffee blend that is 80% Arabica with 200 mL of a different blend that is 30% Arabica. What is the Arabica percentage of the resulting blend?

פתרון:

  1. חומר טהור (אראביקה) בתמיסה 1: 0.80 × 300 = 240 מ״ל.
  2. חומר טהור בתמיסה 2: 0.30 × 200 = 60 מ״ל.
  3. סך חומר טהור = 300 מ״ל. סך נפח = 500 מ״ל.
  4. C_mix = 300 / 500 = 60%.
תשובה: 60%. בדיקה: 60% הוא בין 30% ל-80%, וקרוב יותר ל-80 כי יש יותר מהבלנד החזק. תקין.
דוגמה 2 · בינונית · הוספת חומר טהור
A battery cell contains 50 grams of electrolyte that is 4% lithium. How many grams of pure lithium must be added so that the electrolyte becomes 20% lithium?

פתרון:

  1. ליתיום בהתחלה: 0.04 × 50 = 2 גרם.
  2. נסמן את כמות הליתיום הטהור שמוסיפים x. אחרי ההוספה: ליתיום = 2 + x, נפח = 50 + x.
  3. משוואת ריכוז: (2 + x) / (50 + x) = 0.20.
  4. 2 + x = 0.20·(50 + x) → 2 + x = 10 + 0.2x → 0.8x = 8 → x = 10 גרם.
תשובה: 10 גרם של ליתיום טהור. אזהרה: רבים שוכחים ש-x מופיע גם במונה וגם במכנה כי החומר הטהור מוסיף גם לנפח הכולל. אם תכתוב 2 + x = 0.20·50 - שגית.
דוגמה 3 · קשה · החלפת חלק מהתמיסה
A 600 mL container is filled with a paint mixture that is 25% red pigment. A painter wants to shift the shade by removing 150 mL of the mixture and replacing it with 150 mL of a different paint that is 75% red pigment. What is the new red pigment percentage?

פתרון:

  1. פיגמנט אדום במצב התחלתי: 0.25 × 600 = 150 מ״ל.
  2. אחרי הסרת 150 מ״ל מהתערובת (25% פיגמנט): הוסרו 0.25 × 150 = 37.5 מ״ל פיגמנט. נשארו 150 − 37.5 = 112.5 מ״ל פיגמנט בנפח 450 מ״ל.
  3. הוספת 150 מ״ל של תמיסה 75%: הוספו 0.75 × 150 = 112.5 מ״ל פיגמנט.
  4. סך פיגמנט = 112.5 + 112.5 = 225 מ״ל. נפח = 450 + 150 = 600 מ״ל (חזרנו לנפח המקורי).
  5. C_new = 225 / 600 = 37.5%.
תשובה: 37.5%. תובנה: כשמחליפים נפח שווה, הריכוז הסופי הוא ממוצע משוקלל של הריכוז הישן והנוסף לפי היחס בין הנפח שנשאר לבין הנפח שהוחלף. כאן: (450·25 + 150·75)/600 = 37.5%.

5 מלכודות נפוצות שאחראיות לחלק ניכר מהטעויות

  1. החלת יחס ישירות על ריכוזים. "אם מערבבים יחס 1:2 של 30% ו-60%, הריכוז הסופי הוא (30+2·60)/3 = 50% - לא 45%". התלמיד "ממצע" 30 ו-60 ומקבל 45. שגוי. הריכוז הוא ממוצע משוקלל לפי נפח, וכאן יש כפליים מהריכוז הגבוה.
  2. שכחה שהמרכיב הטהור מוסיף לנפח. בהוספת חומר טהור (ליתיום, מלח, חומצה), הוא תורם גם לנפח. תלמידים שכותבים את הנוסחה בלי + x במכנה מקבלים ריכוז גבוה מ-100% או תוצאה לא הגיונית.
  3. בלבול בין "כמות חומר" ל"ריכוז". אם מתמיסה של 20% מסירים 100 מ״ל, מסירים 20 מ״ל של החומר הטהור - לא 100. תלמידים מערבבים בין הנפח הכולל לבין הנפח של הרכיב הפעיל.
  4. הזנחת רכיב משתמר. אם מוסיפים מים - כמות החומצה לא משתנה. הצב את כמות החומצה משני הצדדים: הצד הימני מבוטא כריכוז חדש × נפח חדש. תלמידים מנסים לחשב מחדש "כמה חומצה אחרי" ושוכחים שזה אותו מספר.
  5. טווח ריכוז סופי בלתי הגיוני. ריכוז סופי חייב להיות בין שני הריכוזים ההתחלתיים. אם קיבלת 90% מערבוב של 20% ו-50% - יש שגיאה. השתמש בעיקרון הזה כבדיקת שפיות.

טבלת אסטרטגיות - איזו שיטה לבחור

סוג השאלהאסטרטגיה מועדפתטיפ זריז
ערבוב 2 תמיסות → מצא ריכוזמטריצה (V·C)חבר חומר טהור, חלק בסך נפח
ערבוב 2 תמיסות → מצא יחס נפחיםAlligationשיטת המרחקים - מהירה מאוד
הוספת מים → מצא נפח מיםשמירת חומר טהורהחומצה לא משתנה; משוואה אחת
הוספת חומר טהורמטריצה עם x גם במונה וגם במכנהאל תשכח שזה תורם לנפח
החלפת חלק מהתמיסהנוסחת (1−R/V)nנכון רק אם החלפה במים
החלפה בתמיסה אחרתשני שלבים: הסר + הוסףחשב פיגמנט בנפרד לכל שלב
3 תמיסות יחדמטריצה מורחבתאותו עיקרון, שלוש שורות
"כמה מתמיסה X לקבל ריכוז Y"x במשתנה, משוואה אחתשמור על יחידות עקביות
טיפ שיטת Alligation: צייר קו, שים את שני הריכוזים בקצוות וה-mix באמצע. ההפרשים הצולבים נותנים את היחס ההפוך של הנפחים. בדוגמה: 30% ו-60%, mix = 50% → 60−50 = 10 ו-50−30 = 20 → יחס נפחים 10:20 = 1:2.

תרגיל 2-דקות - חימום מנטלי

  1. 200 מ״ל של 40% חומצה + 300 מ״ל של 20% חומצה. מה הריכוז הסופי?
  2. בכמה מ״ל מים יש לדלל 500 מ״ל של 25% כדי להגיע ל-10%?
  3. יחס 3:1 של 80% ו-40%. מה הריכוז הסופי?
  4. תמיסה של 30% במיכל 200 מ״ל. מוסיפים 50 מ״ל חומר טהור. מה הריכוז?
  5. 40% של 600 מ״ל - מוציאים 200 מ״ל ומחליפים במים. מה הריכוז החדש?
לחץ לתשובות
תשובות: (1) (200·40 + 300·20)/500 = (8000+6000)/500 = 28%.   (2) חומצה = 125 מ״ל. (125)/(500+x) = 0.10 → x = 750 מ״ל.   (3) (3·80 + 1·40)/4 = 280/4 = 70%.   (4) (200·0.3 + 50·1)/(250) = (60+50)/250 = 44%.   (5) 40% × (1 − 200/600) = 40% × 2/3 = 26.67%.

צעד הבא - תרגול תחת לחץ זמן

הנוסחאות בידך. הסימולציה החינמית של mivchan.co.il מציעה בנק שאלות mixture בקצב 1:50 לשאלה - כולל וריאציות החלפה, הוספת מים, וערבוב שלוש תמיסות.

תרגול Mixture Problems התחל סימולציית Quant

לא יודעים מאיפה להתחיל? בנו תוכנית לימוד אישית (4-16 שבועות)

מדריכים קשורים

GMAT Quant - סקירה כללית Percentages - אחוזים Rates - מהירות, זמן, מרחק Work - עבודה משותפת Data Insights GMAT - מדריך ראשי
הבהרה: mivchan.co.il אינו מסונף ל-GMAC (Graduate Management Admission Council), הגוף המנהל את מבחן ה-GMAT. כל השאלות והדוגמאות באתר נכתבו במקור על ידי הצוות שלנו ואינן נגזרות מ-Official Guide, Manhattan Prep, Magoosh, או כל מקור צד ג'.